Решение:
- стремительно развиваясь — наречное словосочетание (примыкание).
- просить царя — именное (субстантивное) словосочетание (управление).
- кремлёвские стены — именное (адъективное) словосочетание (согласование).
- через него — местоимённое словосочетание (управление).
Ответ: 1) стремительно развиваясь (наречное); 2) просить царя (именное); 3) кремлёвские стены (именное); 4) через него (местоимённое).