ВПР-математика 8 класс. 2024г Запишите решение и ответ. 1. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 8√2. 2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 16, a угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4/7. 3. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = ВХ = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠XBY = 28°. 4. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АY, если АХ = 8.

Question

Вопрос:

ВПР-математика 8 класс. 2024г Запишите решение и ответ. 1. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 8√2. 2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 16, a угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4/7. 3. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = ВХ = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠XBY = 28°. 4. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АY, если АХ = 8.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Необходимо решить четыре задачи по геометрии, используя свойства трапеций и треугольников, а также тригонометрические соотношения.

Решение задачи №1

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Меньшее основание трапеции равно 8\(\sqrt{2}\). Нужно найти длину диагонали BD.

Т.к. AC - биссектриса угла A, то \(\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ/2 = 22.5^\circ\). Трапеция прямоугольная, значит \(\angle ABC = 90^\circ\). Тогда \(\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ\). Т.к. основания трапеции параллельны, то \(\angle CAD = \angle BCA\) (как накрест лежащие). Значит \(\angle CAD = 67.5^\circ\), но по условию \(\angle CAD = 22.5^\circ\), следовательно, условие задачи противоречиво, и трапеция не может быть прямоугольной при данных условиях.

Предположим, что в условии задачи имеется в виду, что \(\angle BAD = 45^\circ\). Тогда \(\angle BAC = 22.5^\circ\), \(\angle BCA = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ\). Т.к. \(BC \parallel AD\), то \(\angle CAD = \angle BCA = 67.5^\circ\).

Проведем высоту \(CH\) к основанию \(AD\). Тогда \(AH = BC = 8\sqrt{2}\). В прямоугольном треугольнике \(ACH\) \(\angle CAH = 22.5^\circ\). Тогда \(\angle ACH = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ\). Значит \(AH = CH = 8\sqrt{2}\).

\(HD = AD - AH\). Т.к. \(\angle CAD = 67.5^\circ\), то \(\angle HCD = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(CHD\) \(\tan 22.5^\circ = \frac{HD}{CH}\). \(\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1\). Тогда \(HD = CH \cdot (\sqrt{2} - 1) = 8\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - 1) = 16 - 8\sqrt{2}\).

Тогда \(AD = AH + HD = 8\sqrt{2} + 16 - 8\sqrt{2} = 16\).

Т.к. трапеция прямоугольная, то \(AB = CH = 8\sqrt{2}\). Теперь можем найти диагональ \(BD\) по теореме Пифагора из треугольника \(ABD\): \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 16^2} = \sqrt{128 + 256} = \sqrt{384} = 8\sqrt{6}\).

Решение задачи №2

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 16, а угол A равен 45°. Меньшее основание трапеции равно 4\(\sqrt{7}\). Нужно найти большую боковую сторону.

Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда \(\angle BAH = 45^\circ\), значит, \(\angle ABH = 45^\circ\) и \(AH = BH\). Пусть \(AH = x\), тогда \(BH = x\).

Рассмотрим треугольник BHD. По теореме Пифагора \(BD^2 = BH^2 + HD^2\). Тогда \(16^2 = x^2 + HD^2\), \(256 = x^2 + HD^2\). \(HD = AD - AH = AD - 4\sqrt{7}\).

Выразим AD через x. Т.к. \(BC = AH = x\) = 4\(\sqrt{7}\), то \(AD = AH + HD = 4\sqrt{7} + HD\).

Тогда \(256 = (4\sqrt{7})^2 + HD^2\). \(256 = 16 \cdot 7 + HD^2\). \(256 = 112 + HD^2\). \(HD^2 = 144\). \(HD = 12\).

Тогда \(AD = AH + HD = 4\sqrt{7} + 12\).

Теперь найдем боковую сторону CD, которая является большей боковой стороной. \(CD = \sqrt{CH^2 + HD^2}\) = \(\sqrt{(4\sqrt{7})^2 + 12^2} = \sqrt{112 + 144} = \sqrt{256} = 16\).

Решение задачи №3

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Нужно найти величину угла CBY, если \(\angle XBY = 28^\circ\).

Пусть \(\angle BAX = \alpha\). Т.к. AX = BX, то треугольник ABX равнобедренный, и \(\angle ABX = \angle BAX = \alpha\). Тогда \(\angle AXB = 180^\circ - 2\alpha\). Смежный с ним угол \(\angle BXC = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha\).

Т.к. BX = BY, то треугольник BXY равнобедренный, и \(\angle BXY = \angle BYX\). Также \(\angle XBY = 28^\circ\). Тогда \(\angle BXY = \angle BYX = (180^\circ - 28^\circ)/2 = 76^\circ\).

Тогда \(\angle A = \angle BAX = \alpha\), \(\angle ABC = \angle ACB\). \(\angle ACB = 180^\circ - \alpha - \alpha = 180^\circ - 2\alpha\). Тогда \(\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \alpha)/2 = 90^\circ - \alpha/2\).

\(\angle CBY = x\). \(\angle XBY = 28^\circ\), \(\angle ABX = \alpha\). Тогда \(\angle ABC = \angle ABX + \angle XBY + \angle CBY = \alpha + 28^\circ + x\). С другой стороны \(\angle ABC = 90^\circ - \alpha/2\).

Получаем уравнение: \(\alpha + 28^\circ + x = 90^\circ - \alpha/2\). \(180^\circ - 2\alpha = 76^\circ\), \(2\alpha = 104^\circ\), \(\alpha = 52^\circ\).

Подставляем \(\alpha = 52^\circ\) в уравнение: \(52^\circ + 28^\circ + x = 90^\circ - 52^\circ/2\). \(80^\circ + x = 90^\circ - 26^\circ\). \(80^\circ + x = 64^\circ\). \(x = -16^\circ\). Угол не может быть отрицательным, следовательно, в условии задачи ошибка.

Предположим, что \(\angle AXB = 76^\circ\). Тогда \(\angle AXB = 180^\circ - 2\alpha = 76^\circ\). \(2\alpha = 104^\circ\), \(\alpha = 52^\circ\).

Треугольник ABC равнобедренный, тогда \(\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - 52^\circ)/2 = 64^\circ\). \(\angle ABX = \alpha = 52^\circ\), \(\angle XBY = 28^\circ\).

Тогда \(\angle CBY = \angle ABC - \angle ABX - \angle XBY = 64^\circ - 52^\circ - 28^\circ = -16^\circ\).

Решение задачи №4

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, \(\angle ACB = 75^\circ\). На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и \(\angle BAX = \angle YAX\). Нужно найти длину отрезка AY, если AX = 8.

Т.к. AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный, и \(\angle ABC = \angle ACB = 75^\circ\). Тогда \(\angle BAC = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ\).

Пусть \(\angle BAX = \angle YAX = x\). Тогда \(\angle BAY = 2x\). Т.к. AX = BX, то треугольник ABX равнобедренный, и \(\angle ABX = \angle BAX = x\). Тогда \(\angle AXB = 180^\circ - 2x\).

С другой стороны, \(\angle ABC = 75^\circ\), значит, x = 75^\circ\). Тогда \(\angle BAY = 2x = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ\). Этого не может быть, т.к. \(\angle BAC = 30^\circ\).

Предположим, что \(\angle BXA = \angle AXB\). Тогда в треугольнике ABX \(\angle ABX = 180^\circ - 2x\). \(\angle ABC = \angle ABX = 75^\circ\). Тогда \(\angle AXB = 180^\circ - 75^\circ - x\). \(AX = BX = 8\).

По теореме синусов \(\frac{AX}{\sin \angle ABX} = \frac{AB}{\sin \angle AXB}\). \(\frac{8}{\sin 75^\circ} = \frac{AB}{\sin(180^\circ - 75^\circ - x)}\).

В треугольнике ABY по теореме синусов \(\frac{AY}{\sin \angle ABY} = \frac{AB}{\sin \angle AYB}\). \(\angle ABY = 75^\circ - x\). \(\frac{AY}{\sin 75^\circ} = \frac{AB}{\sin \angle AYB}\).

Тогда \(\angle AYB = 180^\circ - 75^\circ - x\). \(\frac{AY}{\sin (75^\circ - x)} = \frac{AB}{\sin (105^\circ + x)}\). \(AY = \frac{AB \cdot \sin(75^\circ - x)}{\sin (105^\circ + x)}\).

Т.к. \(\angle BAC = 30^\circ\) и \(\angle BAX = \angle YAX = x\), то \(\angle BAC = 2x = 30^\circ\), \(x = 15^\circ\).

Тогда \(\angle AXB = 180^\circ - 2 \cdot 15^\circ = 150^\circ\). \(\frac{8}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 150^\circ}\). \(AB = \frac{8 \cdot \sin 150^\circ}{\sin 15^\circ} = \frac{8 \cdot 0.5}{\sin 15^\circ} = \frac{4}{\sin 15^\circ}\).

Тогда \(AY = \frac{\frac{4}{\sin 15^\circ} \cdot \sin(75^\circ - 15^\circ)}{\sin (105^\circ + 15^\circ)} = \frac{\frac{4}{\sin 15^\circ} \cdot \sin(60^\circ)}{\sin (120^\circ)} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 15^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sin 15^\circ}\). \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).

Тогда \(AY = \frac{4}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{16(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{16(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{16(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})\).

Ответ:

Задача №1: \(BD = 8\sqrt{6}\) (при условии, что \(\angle BAD = 45^\circ\)).
Задача №2: 16
Задача №3: Невозможно определить (противоречивые условия).
Задача №4: \(AY = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})\).

Проверь единицы измерения, формулы и пересчитай еще раз, чтобы убедиться в правильности решения!

Уровень Эксперт: Попробуй найти другие способы решения этих задач. Например, можно использовать векторы или комплексные числа.