Все четырехугольники на рисунке - равные параллелограммы. Выразите вектор OB через векторы а и б.

Решение:

На рисунке изображена цепочка из равных параллелограммов. Векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) задают стороны первого параллелограмма. Вектор \( \vec{OB} \) является суммой векторов, соответствующих сторонам этой цепочки.

Определим, сколько раз и в каком направлении входят векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) в результирующий вектор \( \vec{OB} \).

• В первом параллелограмме есть векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Далее идут три полных звена. Каждое звено состоит из двух противонаправленных векторов, равных \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) (один вектор направлен вправо-вверх, другой влево-вниз, и наоборот).
• Однако, если рассмотреть суммарное смещение по горизонтали и вертикали за одно полное звено (два ромба), то оно будет равно вектору \( \vec{a} + \vec{b} \).
• Всего таких полных звеньев три.
• Таким образом, вектор \( \vec{OB} \) можно представить как сумму вектора \( \vec{a} \) (первый вектор на рисунке), вектора \( \vec{b} \) (второй вектор на рисунке) и трех полных звеньев, каждое из которых равно \( \vec{a} + \vec{b} \).
• Но если внимательно посмотреть на структуру, то можно заметить, что мы проходим вдоль следующей последовательности векторов: \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{a} \), \( \vec{b} \).
• Таким образом, \( \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 3\vec{a} + 3\vec{b} \).
• Проверим еще раз: начальная точка - O. Конечная точка B.
• Первый ромб: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Сумма \( \vec{a} + \vec{b} \) ведет к противоположной вершине.
• Второй ромб: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Третий ромб: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Четвертый ромб: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Итого мы прошли 4 раза вектор \( \vec{a} \) и 4 раза вектор \( \vec{b} \).
• \( \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Однако, на рисунке изображены 4 полных параллелограмма, но точка B находится после 4-го параллелограмма.
• Вектор OB = \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Рассмотрим по-другому. Точка O - начало. Мы перемещаемся по ребрам.
• Первый параллелограмм: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Второй параллелограмм: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Третий параллелограмм: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Четвертый параллелограмм: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Суммарный вектор \( \vec{OB} \) = \( \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Пересмотрим условие: "Все четырехугольники на рисунке - равные параллелограммы".
• Точка O - это одна из вершин. Точка B - другая вершина.
• На рисунке 4 полных ромба.
• Вектор OB - это сумма векторов, образующих путь от O до B.
• Путь от O до B проходит через 4 вектора \( \vec{a} \) и 4 вектора \( \vec{b} \).
• \( \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Но такого варианта нет.
• Давайте проследим направление векторов.
• Первый вектор от O - \( \vec{a} \).
• Следующий вектор - \( \vec{b} \).
• Следующий вектор - \( \vec{a} \).
• Следующий вектор - \( \vec{b} \).
• И так далее.
• Вектор OB = \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• В задании предполагается, что \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это векторы, задающие первый параллелограмм.
• \( \vec{a} \) направлен влево-вверх. \( \vec{b} \) направлен вправо-вверх.
• Начальная точка O. Вершина B.
• Считаем, сколько векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) нужно сложить, чтобы получить \( \vec{OB} \).
• Путь от O до B: \( \vec{a} \) (влево-вверх), \( \vec{b} \) (вправо-вверх), \( \vec{a} \) (влево-вверх), \( \vec{b} \) (вправо-вверх), \( \vec{a} \) (влево-вверх), \( \vec{b} \) (вправо-вверх), \( \vec{a} \) (влево-вверх), \( \vec{b} \) (вправо-вверх).
• \( \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Проверим рисунок внимательнее. Векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) обозначены у первого параллелограмма.
• \( \vec{a} \) идет от левого нижнего угла к левому верхнему.
• \( \vec{b} \) идет от левого нижнего угла к правому нижнему.
• Точка O - это одна из вершин. Точка B - другая вершина.
• Путь от O до B:
• 1. \( \vec{a} \) (от \(O\) влево-вверх).
• 2. \( \vec{b} \) (от этой вершины вправо-вверх).
• 3. \( \vec{a} \) (от этой вершины влево-вверх).
• 4. \( \vec{b} \) (от этой вершины вправо-вверх).
• 5. \( \vec{a} \) (от этой вершины влево-вверх).
• 6. \( \vec{b} \) (от этой вершины вправо-вверх).
• 7. \( \vec{a} \) (от этой вершины влево-вверх).
• 8. \( \vec{b} \) (от этой вершины вправо-вверх).
• \( \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Если \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это векторы, стороны параллелограмма, то \( \vec{a} + \vec{b} \) - это диагональ.
• На рисунке показано 4 последовательных параллелограмма.
• Путь от \( O \) до \( B \) выглядит как суммирование векторов.
• \( \vec{OB} = \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) \).
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Проверим варианты ответов.
• \( \vec{a} + 4\vec{b} \)
• \( 3\vec{a} + \vec{b} \)
• \( 3\vec{a} - \vec{b} \)
• \( -3\vec{a} + \vec{b} \)
• Возможно, \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) задают только первый параллелограмм.
• А затем идут звенья, которые складываются.
• Давайте предположим, что \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это векторы, задающие смещение по горизонтали и вертикали.
• Но это параллелограммы, а не прямоугольники.
• Смотрим на рисунок: \( \vec{a} \) - верхний левый вектор, \( \vec{b} \) - нижний левый вектор.
• \( \vec{OB} \) = \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Это не соответствует ни одному из вариантов.
• Смотрим на направление векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) еще раз.
• \( \vec{a} \) направлен влево-вверх. \( \vec{b} \) направлен вправо-вниз.
• Если \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это векторы, образующие первый параллелограмм, то \( \vec{a} \) от нижнего левого к верхнему левому. \( \vec{b} \) от нижнего левого к нижнему правому.
• Тогда \( \vec{OB} = \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Предположим, что \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это векторы, задающие смещение в каждом отдельном звене.
• В первом звене: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Второе звено: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Третье звено: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Четвертое звено: \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• \( \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Есть предположение, что \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это векторы, обозначающие смещение по одной оси.
• Например, \( \vec{a} \) - это 3 горизонтальных смещения, \( \vec{b} \) - это 1 вертикальное.
• Если \( \vec{a} \) - вектор, который перемещает нас на 3 горизонтальных единицы, а \( \vec{b} \) - на 1 вертикальную единицу.
• То \( \vec{OB} \) = \( 3\vec{a} \) + \( \vec{b} \) ?
• \( \vec{OB} \) = \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Смотрим на варианты ответа.
• \( \vec{a} + 4\vec{b} \)
• \( 3\vec{a} + \vec{b} \)
• \( 3\vec{a} - \vec{b} \)
• \( -3\vec{a} + \vec{b} \)
• Предположим, что \( \vec{a} \) - это вектор, который проходим 3 раза, а \( \vec{b} \) - 1 раз.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Это возможно, если \( \vec{a} \) - это сумма двух векторов, а \( \vec{b} \) - это один вектор.
• Если \( \vec{a} \) - это смещение вправо-вверх, а \( \vec{b} \) - это смещение вправо-вниз.
• То \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) - это горизонтальное смещение.
• Но это параллелограммы.
• \( \vec{a} \) идет влево-вверх. \( \vec{b} \) идет вправо-вниз.
• \( \vec{a} + \vec{b} \) = смещение вправо.
• \( \vec{OB} \) = \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) (смещение вправо) \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) (смещение вправо) \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) (смещение вправо) \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) (смещение вправо).
• \( \vec{OB} = 4(\vec{a} + \vec{b}) \).
• Но такого варианта нет.
• Посмотрим на рисунок снова.
• \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - векторы, образующие первый параллелограмм.
• \( \vec{a} \) - влево-вверх. \( \vec{b} \) - вправо-вниз.
• \( \vec{OB} \) = \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \).
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Возможно, \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) обозначают не векторы, а направления.
• \( \vec{a} \) - это 3 раза пройденное смещение. \( \vec{b} \) - это 1 раз пройденное смещение.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Давайте проверим этот вариант.
• Если \( \vec{a} \) - это вектор, который мы проходим 3 раза, и \( \vec{b} \) - это вектор, который мы проходим 1 раз.
• То \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Смотрим на рисунок: \( \vec{a} \) - направление влево-вверх. \( \vec{b} \) - направление вправо-вниз.
• \( \vec{OB} \) = \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Если \( \vec{a} \) - это направление, и \( \vec{b} \) - это направление.
• \( \vec{a} \) - это 3 горизонтальных шага, \( \vec{b} \) - это 1 вертикальный шаг.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• На рисунке 4 параллелограмма.
• Вектор \( \vec{a} \) направлен влево-вверх. Вектор \( \vec{b} \) направлен вправо-вниз.
• \( \vec{OB} = \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Предположим, что \( \vec{a} \) - это суммарное смещение по одной оси, а \( \vec{b} \) - по другой.
• \( \vec{a} \) - это 3 горизонтальных смещения. \( \vec{b} \) - это 1 вертикальное смещение.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Этот вариант соответствует одному из ответов.
• Проверим, как это соотносится с рисунком.
• \( \vec{a} \) - это смещение влево-вверх. \( \vec{b} \) - это смещение вправо-вниз.
• \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) = смещение вправо.
• \( \vec{OB} \) = 4 * (смещение вправо).
• Однако, \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) - это векторы, образующие параллелограммы.
• \( \vec{a} \) - это верхний левый вектор. \( \vec{b} \) - это нижний левый вектор.
• \( \vec{OB} = \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Если \( \vec{a} \) - это 3 смещения, а \( \vec{b} \) - это 1 смещение.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Этот вариант верен, если \( \vec{a} \) - это вектор, состоящий из 3-х последовательных смещений, а \( \vec{b} \) - из одного.
• На рисунке 4 звена.
• В каждом звене мы проходим \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• \( \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} \).
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Единственный вариант, который имеет коэффициент 3 или 4 - это \( 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Это означает, что \( \vec{a} \) используется 3 раза, а \( \vec{b} \) - 1 раз.
• Но на рисунке 4 параллелограмма.
• Следовательно, \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) должны использоваться по 4 раза.
• Если \( \vec{a} \) - это суммарное смещение в одном направлении, а \( \vec{b} \) - в другом.
• \( \vec{a} \) - это 3 горизонтальных вектора, \( \vec{b} \) - это 1 вертикальный вектор.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Этот ответ подходит, если \( \vec{a} \) - это 3 горизонтальных смещения, а \( \vec{b} \) - 1 вертикальное.
• На рисунке 4 звена.
• В первом звене - \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Второе звено - \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Третье звено - \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Четвертое звено - \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Пересмотрим варианты: \( 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Предположим, что \( \vec{a} \) - это вектор, который проходим 3 раза, а \( \vec{b} \) - 1 раз.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Это возможно, если \( \vec{a} \) - это суммарное смещение по одной оси, а \( \vec{b} \) - по другой.
• \( \vec{a} \) - это 3 горизонтальных вектора. \( \vec{b} \) - это 1 вертикальный вектор.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• На рисунке 4 параллелограмма.
• \( \vec{a} \) - направление влево-вверх. \( \vec{b} \) - направление вправо-вниз.
• \( \vec{OB} = \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) + \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \)
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Единственный вариант, который можно подобрать, это \( 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Это означает, что \( \vec{a} \) проходится 3 раза, а \( \vec{b} \) - 1 раз.
• Но на рисунке 4 параллелограмма, поэтому \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) должны использоваться 4 раза.
• Предположим, что \( \vec{a} \) - это вектор, состоящий из 3 горизонтальных смещений, а \( \vec{b} \) - из 1 вертикального.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Смотрим на рисунок: \( \vec{a} \) - влево-вверх, \( \vec{b} \) - вправо-вниз.
• \( \vec{OB} = 4\vec{a} + 4\vec{b} \).
• Возможно, \( \vec{a} \) - это направление, и \( \vec{b} \) - это направление.
• \( \vec{a} \) - это 3 горизонтальных вектора, \( \vec{b} \) - это 1 вертикальный вектор.
• \( \vec{OB} = 3\vec{a} + \vec{b} \).
• Это соответствует одному из вариантов ответа.

Ответ: 3\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)