Все ребра премой 3-уг. призмы имеют одинак. длину. Брат = 4+85 Soch?

Решение:

• Пусть a - длина каждого ребра прямой треугольной призмы.
• Площадь основания (S_осн) равна площади равностороннего треугольника со стороной a:

\[S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

• Площадь полной поверхности (S_полн) включает две площади основания и три площади боковых граней:

\[S_{полн} = 2S_{осн} + 3a^2\]

• Подставим известные значения:

\[4 + 8\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 3a^2\]

• Упростим уравнение:

\[4 + 8\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3a^2\]

• Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[8 + 16\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3} + 6a^2\]

• Перегруппируем члены с a²:

\[a^2(\sqrt{3} + 6) = 8 + 16\sqrt{3}\]

• Выразим a²:

\[a^2 = \frac{8 + 16\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 6}\]

• Разделим числитель и знаменатель на 8:

\[a^2 = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{6}{8}}\]

• Разделим числитель и знаменатель на 2:

\[a^2 = \frac{4(1 + 2\sqrt{3})}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 3}\]

• Упростим выражение для a²:

\[a^2 = \frac{8(2 + \sqrt{3})}{6 + \sqrt{3}}\]

• Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю (6 - \sqrt{3}):

\[a^2 = \frac{8(2 + \sqrt{3})(6 - \sqrt{3})}{(6 + \sqrt{3})(6 - \sqrt{3})}\] \[a^2 = \frac{8(12 - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3)}{36 - 3}\] \[a^2 = \frac{8(9 + 4\sqrt{3})}{33}\]

• Площадь боковой поверхности (S_бок) равна сумме площадей трех боковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной a:

\[S_{бок} = 3a^2\]

• Подставим значение a²:

\[S_{бок} = 3 \cdot \frac{8(9 + 4\sqrt{3})}{33}\] \[S_{бок} = \frac{24(9 + 4\sqrt{3})}{33}\]

• Сократим дробь на 3:

\[S_{бок} = \frac{8(9 + 4\sqrt{3})}{11}\] \[S_{бок} = \frac{72 + 32\sqrt{3}}{11}\]

Ответ: \(\frac{72 + 32\sqrt{3}}{11}\)