30 Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы

Решение:

1. Найдем сторону ромба. Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то половинки диагоналей равны 15/2 = 7,5 см и 20/2 = 10 см. По теореме Пифагора, сторона ромба равна:

$$a = \sqrt{(7.5)^2 + (10)^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5 \text{ см}$$

2. Найдем площадь ромба:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ см}^2$$

3. Найдем высоту ромба, проведенную к стороне a:

$$h = \frac{S}{a} = \frac{150}{12.5} = 12 \text{ см}$$

4. Так как стороны ромба касаются сферы, то высота ромба равна диаметру вписанной в ромб окружности. Тогда радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$

5. Пусть O - центр сферы, а O' - центр вписанной окружности ромба. Расстояние от центра сферы до плоскости ромба обозначим через d. Рассмотрим прямоугольный треугольник OO'K, где K - точка касания сферы и стороны ромба. Тогда OK - радиус сферы, равный 10 см, O'K - радиус вписанной окружности, равный 6 см. OO' = d - расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

6. По теореме Пифагора:

$$d = OO' = \sqrt{OK^2 - O'K^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Ответ: 8 см