Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см.
Ответ:
- Обозначим расстояние от центра сферы до плоскости треугольника как $$d$$. Радиус сферы $$r = 5$$ см. Стороны треугольника $$AB = 13$$ см, $$BC = 14$$ см, $$CA = 15$$ см.
- Сначала найдем площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника, $$a, b, c$$ - его стороны.
- Полупериметр $$p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ см.
- Площадь треугольника $$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$ см$$^2$$.
- Объем пирамиды, основанием которой является треугольник $$ABC$$, а вершиной - центр сферы, можно выразить двумя способами. Первый способ: $$V = \frac{1}{3} S d$$, где $$S$$ - площадь основания (треугольника $$ABC$$), а $$d$$ - расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Второй способ: $$V = \frac{1}{3} r (AB + BC + CA)$$, где $$r$$ - радиус сферы, вписанной в треугольник.
- Приравняем оба выражения для объема: $$\frac{1}{3} S d = \frac{1}{3} r (AB + BC + CA)$$. Отсюда $$S d = r (AB + BC + CA)$$, и $$d = \frac{r (AB + BC + CA)}{S}$$.
- Подставим известные значения: $$d = \frac{5 (13 + 14 + 15)}{84} = \frac{5 \cdot 42}{84} = \frac{210}{84} = \frac{5}{2} = 2.5$$ см.
