Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.

1. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см. Площадь S = sqrt(21 * (21-13) * (21-14) * (21-15)) = sqrt(21 * 8 * 7 * 6) = sqrt(7056) = 84 см².

2. Найдем радиус вписанной окружности треугольника. Радиус r = S / p = 84 / 21 = 4 см.

3. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника (h) найдем по теореме Пифагора: R² = r² + h², где R - радиус сферы. h = sqrt(R² - r²) = sqrt(5² - 4²) = sqrt(25 - 16) = sqrt(9) = 3 см.