Ответ:

Правило: падеж существительного определяем по вопросу и предлогу. Вставленные буквы выделены жирным.

На чужой стороне* и в снах не красна. Любишь кататься — люби и саночки* возить. Медведь грозился(з) да в яму свалился. Много говорить — голова заболит. На чужбине* родная землица* во сне* снится. Правда дороже золота. Прилетел* гусь на Русь — погостить* да улетит. Сдина* бобра не портит. Проложал на печи, так про обеи помолчи. Ланивые* руки не родня умой* голове. Меж слепых и кривой* зрячий.

Падежи существительных: стороне — предложный; снах — предложный; кататься — винительный; саночки — винительный; медведь — именительный; яму — винительный; голова — именительный; чужбине — предложный; землица — именительный; сне — предложный; правда — именительный; золота — родительный; гусь — именительный; Русь — винительный; добыра — форма в тексте отсутствует; сдина — вероятно, опечатка; бобра — родительный; печи — предложный; обеих — родительный; помолчи — существительного нет; руки — именительный; голове — предложный; слепых — родительный; кривой — родительный.

Ответ: буквы вставлены, падежи существительных определены по вопросам и предлогам.