Решение:
1 группа
- Хвостик — проверочное слово «хвост».
- песочек — проверочное слово «песок».
- грузчик — суффикс -чик- после шипящих пишется после основ на ж, ч, ш, щ.
- растение — корень с чередованием -раст-/-ращ-/-рос-. Пишется «а», так как дальше идет суффикс -а-.
- (не)друг — «не» с существительными пишется раздельно, если есть противопоставление с союзом «а».
- (не)правда, а ложь — «не» с существительными пишется раздельно, если есть противопоставление с союзом «а».
- шепот — проверочное слово «шепчет».
- площадка — проверочное слово «площадка».
- цыпленок — исключение из правила «жи-ши» пиши с «и».
2 группа
- Из-за тучи — проверочное слово «тучи».
- стремя — проверочное слово «стремя».
- отрасль — корень с чередованием -раст-/-ращ-/-рос-. Пишется «а», так как дальше идет суффикс -а-.
- огонечек — проверочное слово «огонь».
- (не)серьезность — «не» с прилагательным пишется раздельно, если есть противопоставление.
- (не)былица — «не» с существительным пишется слитно, если слово без «не» не употребляется.
- шорох — проверочное слово «шорох» (словарное слово, но часто проверяется как «шорох»).
- циганёнок — исключение из правила «жи-ши» пиши с «и».
- перевозчик — суффикс -чик- после шипящих пишется после основ на ж, ч, ш, щ.
Ответ: 1 группа: хвостик, песочек, грузчик, растение, (не) друг, (не) правда, а ложь; шепот, площадка, цыпленок. 2 группа: Из-за тучи, стремя, отрасль, огонечек, (не) серьезность, (не)былица, шорох, циганёнок, перевозчик.