Вступительное испытание по Математике транспортных систем 2026

Решение:

Найдем точки пересечения прямых.

1. Найдем точки пересечения прямой \( x - 2y + 4 = 0 \) с осью \( x=0 \) и \( y=0 \).
• Если \( x = 0 \), то \( -2y + 4 = 0 \) \(\implies\) \( y = 2 \). Точка: \( (0, 2) \).
• Если \( y = 0 \), то \( x + 4 = 0 \) \(\implies\) \( x = -4 \). Точка: \( (-4, 0) \).
2. Найдем точки пересечения прямой \( x + 4y - 2 = 0 \) с осью \( x=0 \) и \( y=0 \).
• Если \( x = 0 \), то \( 4y - 2 = 0 \) \(\implies\) \( y = 0.5 \). Точка: \( (0, 0.5) \).
• Если \( y = 0 \), то \( x - 2 = 0 \) \(\implies\) \( x = 2 \). Точка: \( (2, 0) \).
3. Найдем точку пересечения прямых \( x - 2y + 4 = 0 \) и \( x + 4y - 2 = 0 \).
• Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 2y - 4 \).
• Подставим во второе уравнение: \( (2y - 4) + 4y - 2 = 0 \) \(\implies\) \( 6y - 6 = 0 \) \(\implies\) \( y = 1 \).
• Найдем \( x \): \( x = 2(1) - 4 = -2 \). Точка пересечения: \( (-2, 1) \).
4. Найдем точку пересечения прямой \( x = 2 \) с прямой \( x - 2y + 4 = 0 \).
• Подставим \( x = 2 \): \( 2 - 2y + 4 = 0 \) \(\implies\) \( 6 - 2y = 0 \) \(\implies\) \( y = 3 \). Точка: \( (2, 3) \).
5. Найдем точку пересечения прямой \( x = 2 \) с прямой \( x + 4y - 2 = 0 \).
• Подставим \( x = 2 \): \( 2 + 4y - 2 = 0 \) \(\implies\) \( 4y = 0 \) \(\implies\) \( y = 0 \). Точка: \( (2, 0) \).

Вершины треугольника:

• Точка пересечения \( x = 2 \) и \( x + 4y - 2 = 0 \) — это \( (2, 0) \).
• Точка пересечения \( x = 2 \) и \( x - 2y + 4 = 0 \) — это \( (2, 3) \).
• Точка пересечения \( x - 2y + 4 = 0 \) и \( x + 4y - 2 = 0 \) — это \( (-2, 1) \).

Основание треугольника лежит на прямой \( x = 2 \). Длина основания равна разности \( y \)-координат: \( 3 - 0 = 3 \).

Высота треугольника — это расстояние от вершины \( (-2, 1) \) до прямой \( x = 2 \), то есть разность \( x \)-координат: \( 2 - (-2) = 4 \).

Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \).

Ответ: 6.