Вузнецова Case 105 Рабочий лист по теме: Угол между прямой и плоскостью

Привет! Давай разберем это задание по геометрии. Нам нужно найти углы между прямыми и плоскостями в кубе и правильной треугольной призме.

Задание 1

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) нужно найти углы между указанными прямыми.

• \(AA_1\) и \(DC\): Угол между прямой \(AA_1\) и прямой \(DC\) равен 90°, так как \(AA_1\) перпендикулярна плоскости основания, а \(DC\) лежит в этой плоскости.
• \(A_1A\) и \(D_1C\): Угол между прямой \(A_1A\) и прямой \(D_1C\) также равен 90°, так как \(A_1A\) перпендикулярна плоскости основания, а \(D_1C\) лежит в этой плоскости.
• \(A_1A\) и \(BCD\): Угол между прямой \(A_1A\) и плоскостью \(BCD\) равен 90°, так как \(A_1A\) перпендикулярна этой плоскости.

Задание 2

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) все ребра равны 1. Нужно найти угол между прямой \(DD_1\) и плоскостью \(DA_1B_1\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DA_1B_1\). Угол между прямой \(DD_1\) и плоскостью \(DA_1B_1\) — это угол \(\varphi\) между \(DD_1\) и её проекцией на эту плоскость. Проекцией \(D_1\) на плоскость \(DA_1B_1\) является точка \(O\) пересечения диагоналей грани \(A_1B_1\), поэтому искомый угол - это угол \(DOD_1\).

Т.к. все ребра куба равны 1, то \(DD_1 = 1\). \(DO\) можно найти из прямоугольного треугольника \(DA_1O\). Катет \(DA_1 = 1\). Катет \(A_1O = \frac{A_1B_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда, по теореме Пифагора: \[DO = \sqrt{DA_1^2 + A_1O^2} = \sqrt{1 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DD_1O\). Тогда: \[tg \varphi = \frac{DD_1}{DO} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Отсюда, \(\varphi = arctg(\frac{\sqrt{6}}{3})\) или приблизительно 39.23°.

Задание 3

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) все ребра которой равны 1, найди углы между:

• \(AA_1\) и \(BCC_1\): Угол между прямой \(AA_1\) и плоскостью \(BCC_1\) равен 90°, так как \(AA_1\) перпендикулярна плоскости основания, а значит, и плоскости \(BCC_1\).
• \(AB\) и \(AA_1C\): Чтобы найти угол между \(AB\) и плоскостью \(AA_1C\), нужно найти проекцию \(AB\) на эту плоскость. Поскольку призма правильная, то треугольник \(ABC\) равносторонний. Медиана \(AM\) является и высотой. Тогда угол между \(AB\) и \(AM\) будет 30°.
• \(BC\) и \(ABC\): Угол между прямой \(BC\) и плоскостью \(ABC\) равен 0°, так как \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\).

Ответ: Углы найдены для каждого задания.

Ты молодец! У тебя всё получится!