Ответ:

Верны строки:

  • Главное слово — улыбаясь, зависимое — подруге.
  • От главного слова к зависимому задаём вопрос кому?
  • Вид синтаксической связи — управление.

«Улыбаясь» — деепричастие, а не причастие. Это глагольное словосочетание, поэтому оно не именное. Связь выражена не только смыслом, но и формой зависимого слова.