Выбери верное продолжение формулы. $$ \left( \frac{x^2}{x^2 - 1} \right)' = $$

Решение:

Для нахождения производной дроби \( \frac{u}{v} \) используется формула частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

В данном случае \( u = x^2 \) и \( v = x^2 - 1 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (x^2)' = 2x \)
• \( v' = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x \)

Подставим в формулу частного:

\[ \left( \frac{x^2}{x^2 - 1} \right)' = \frac{(x^2)' \cdot (x^2 - 1) - x^2 \cdot (x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x \cdot (x^2 - 1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} \]

Среди предложенных вариантов, верным является тот, который соответствует структуре формулы частного:

\[ \frac{(x^2 - 1)' \cdot (x^2) - (x^2)' \cdot (x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} \]

Примечание: В предложенных вариантах есть разные варианты записи, но следует выбрать тот, где правильно применены правила дифференцирования частного. Обратите внимание, что порядок слагаемых в числителе может меняться, но структура (производная числителя * знаменатель - числитель * производная знаменателя) / (знаменатель)^2 должна сохраняться. Вариант \( \frac{(x^2 - 1)' \cdot (x^2) - (x^2)' \cdot (x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} \) соответствует формуле \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) если \( u = x^2 \) и \( v = x^2-1 \), тогда \( u' = 2x \) и \( v' = 2x \), и это будет \( \frac{2x(x^2-1) - x^2(2x)}{(x^2-1)^2} \). Вариант \( \frac{(x^2)' \cdot (x^2 - 1) + (x^2 - 1)' \cdot (x^2)}{(x^2 - 1)^2} \) — это формула произведения, а не частного. Вариант \( \frac{(x^2)' \cdot (x^2 - 1) - (x^2 - 1)' \cdot (x^2)}{x^2 - 1} \) неверно содержит знаменатель \( x^2 - 1 \) вместо \( (x^2 - 1)^2 \).

Ответ: \( \frac{(x^2 - 1)' \cdot (x^2) - (x^2)' \cdot (x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} \)