Давай разберем по порядку каждое утверждение и проверим, верно ли указана грамматическая основа.
1. «Отказавшись окончательно от мысли выучить его разумному чтению и письму, я стал учить его подписываться механически (А. И. Куприн. Олеся). Грамматическая основа «я стал учить»
* Грамматическая основа действительно «я стал учить». Подлежащее – «я», сказуемое – «стал учить».
2. «Наконец он остановился, будто прислушиваясь к чему-то, присел на землю и положил возле себя узел (М. Ю. Лермонтов. Герой нашего времени). Грамматическая основа «он остановился, присел, положил»
* Грамматическая основа указана верно: подлежащее – «он», сказуемые – однородные «остановился, присел, положил».
3. «Через минуту один из станочников, ещё недавно много споривший и горячившийся из-за какой-то неочередной «выти», первый сказал с спокойным сочувствием: «Ну, помоги тебе господи... Ежели охотой...» (В. Г. Короленко. Мороз). Грамматическая основа первой части «первый сказал»
* Грамматическая основа первой части сложного предложения – «первый сказал». Подлежащее – «первый», сказуемое – «сказал». Верно.
4. «Сидя взаперти и прислушиваясь к вою ветра, я тосковал страшно (А. И. Куприн. Олеся). Грамматическая основа «я тосковал»
* Грамматическая основа указана верно: подлежащее – «я», сказуемое – «тосковал».
5. «Мне приходилось перепрыгивать с кочки на кочку; в покрывавшем их густом буром мху ноги тонули, точно в мягком ковре (А. И. Куприн. Олеся). Грамматическая основа первой части «приходилось»
* В безличном предложении грамматическая основа выражена только сказуемым, в данном случае верно указано «приходилось».
Ответ: Все грамматические основы указаны верно.