Решение:
- обижает..ся — в глаголах на -ся/-сь после шипящих (ж, ч, ш, щ) мягкий знак не ставится, если это личное окончание глагола 3-го лица. Проверяем: он (что делает?) обижает. Мягкий знак в этой форме не нужен.
- направляет..ся — аналогично предыдущему случаю, в форме 3-го лица глагола личное окончание не требует мягкого знака. Он (что делает?) направляет.
- умыват..ся — в глаголах на -тся/-ться мягкий знак ставится перед -ся, если глагол отвечает на вопрос «что делать?», «что сделать?» (инфинитив). В данной форме нужно задать вопрос: что делать? — умываться. Мягкий знак нужен.
- хвастат..ся — по той же логике, что и в предыдущем пункте, здесь нужно задать вопрос «что делать?», поэтому мягкий знак необходим: хвастаться.
Ответ: обижает..ся, направляет..ся