Ответ:

Правильный вариант: здесь два государственных языка — русский и бурятский.

Оба языка имеют в Республике Бурятия статус государственных. Остальные варианты неверны: в регионе не говорят только на бурятском или монгольском, а русский и бурятский не образуют отдельный смешанный язык.