«Подписывая договор, стороны обязаны проверить все пункты.»
Деепричастный оборот «подписывая договор» относится к подлежащему. Поскольку подлежащее в предложении – «стороны», то именно они выполняют действие, выраженное деепричастным оборотом. Только третий вариант продолжения предложения грамматически корректен, так как «стороны» могут «проверять пункты».
Ответ: стороны обязаны проверить все пункты.