Выберите наиболее приемлемый метод решения системы уравнений и решите ее: 1820. a) y + 2x = 3, x^2 + y^2 = 2; 6) x^4 - y^4 = 15, x^4 + y^4 = 17;

Решение системы уравнений 1820. а)

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} y + 2x = 3 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \)

1. Выразим y из первого уравнения: \( y = 3 - 2x \).


2. Подставим полученное выражение для y во второе уравнение: \( x^2 + (3 - 2x)^2 = 2 \).


3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:



\( x^2 + (9 - 12x + 4x^2) = 2 \)




\( 5x^2 - 12x + 7 = 0 \)



4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:



\( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4 \)



5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдём корни по формуле:



\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 2}{10} = \frac{14}{10} = 1.4 \)




\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 2}{10} = \frac{10}{10} = 1 \)



6. Найдём соответствующие значения y, подставляя найденные значения x в уравнение \( y = 3 - 2x \):



При \( x_1 = 1.4 \): \( y_1 = 3 - 2 \cdot 1.4 = 3 - 2.8 = 0.2 \)




При \( x_2 = 1 \): \( y_2 = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1 \)

Ответ: (1.4, 0.2) и (1, 1).

Решение системы уравнений 1820. б)

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x^4 - y^4 = 15 \\ x^4 + y^4 = 17 \end{cases} \)

1. Сложим два уравнения системы:



\( (x^4 - y^4) + (x^4 + y^4) = 15 + 17 \)




\( 2x^4 = 32 \)




\( x^4 = 16 \)



2. Из \( x^4 = 16 \) следует, что \( x = \pm 2 \) (так как \( 2^4 = 16 \) и \( (-2)^4 = 16 \)).


3. Вычтем первое уравнение из второго:



\( (x^4 + y^4) - (x^4 - y^4) = 17 - 15 \)




\( 2y^4 = 2 \)




\( y^4 = 1 \)



4. Из \( y^4 = 1 \) следует, что \( y = \pm 1 \) (так как \( 1^4 = 1 \) и \( (-1)^4 = 1 \)).


5. Составим все возможные пары решений:




• Если \( x = 2 \), то \( y = \pm 1 \). Получаем пары: (2, 1) и (2, -1).


• Если \( x = -2 \), то \( y = \pm 1 \). Получаем пары: (-2, 1) и (-2, -1).

Ответ: (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1).