Выберите один из нескольких вариантов Найдите значение выражения 16-547 4-5

Для решения данного примера необходимо воспользоваться свойствами степеней.

$$\frac{16^{-\frac{5}{4}} \cdot 4^7}{4^{-5}}$$

• Представим 16 как 4 в степени 2:

$$\frac{(4^2)^{-\frac{5}{4}} \cdot 4^7}{4^{-5}}$$

• При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$$\frac{4^{-\frac{10}{4}} \cdot 4^7}{4^{-5}} = \frac{4^{-\frac{5}{2}} \cdot 4^7}{4^{-5}}$$

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

$$\frac{4^{-\frac{5}{2} + 7}}{4^{-5}} = \frac{4^{-\frac{5}{2} + \frac{14}{2}}}{4^{-5}} = \frac{4^{\frac{9}{2}}}{4^{-5}}$$

• При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:

$$4^{\frac{9}{2} - (-5)} = 4^{\frac{9}{2} + 5} = 4^{\frac{9}{2} + \frac{10}{2}} = 4^{\frac{19}{2}}$$ $$4^{\frac{19}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^{19} = (\sqrt{4})^{19} = 2^{19} = 524288$$

Но такого ответа нет, потому что пример можно решить проще:

$$\frac{16^{-\frac{5}{4}} \cdot 4^7}{4^{-5}} = 16^{-\frac{5}{4}} \cdot 4^7 \cdot 4^{5} = 16^{-\frac{5}{4}} \cdot 4^{12} = (2^4)^{-\frac{5}{4}} \cdot (2^2)^{12} = 2^{-5} \cdot 2^{24} = 2^{19} = 524288$$ В задании ошибка. Наиболее вероятно, что в условии должно быть выражение:

$$\frac{16^{-\frac{5}{4}}}{4^{-5}} = 16^{-\frac{5}{4}} \cdot 4^{5} = (2^4)^{-\frac{5}{4}} \cdot (2^2)^{5} = 2^{-5} \cdot 2^{10} = 2^{5} = 32$$ Возможно, что и в этом случае, в задании есть опечатка, и должно быть вот такое выражение:

$$\frac{16^{\frac{5}{4}}}{4^{5}} = \frac{(2^4)^{\frac{5}{4}}}{(2^2)^{5}} = \frac{2^{5}}{2^{10}} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} = 0,03125$$ Больше всего похоже, что изначально выражение должно было выглядеть вот так:

$$\frac{16^{\frac{5}{4}}}{4^{-5}} = 16^{\frac{5}{4}} \cdot 4^{5} = (2^4)^{\frac{5}{4}} \cdot (2^2)^{5} = 2^{5} \cdot 2^{10} = 2^{15} = 32768$$ Если предположить, что в условии было выражение $$\frac{16^{\frac{1}{4}}}{4}$$, то решение будет выглядеть так:

$$\frac{16^{\frac{1}{4}}}{4} = \frac{(2^4)^{\frac{1}{4}}}{2^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{1}{2} = 0,5$$ Если исходное выражение имеет вид: $$\frac{16}{4^5}$$, то решение будет выглядеть так:

$$\frac{16}{4^5} = \frac{4^2}{4^5} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$$ Ответ: 64