Выберите один вариант ответа: Корнем уравнения log₂(3⁵ˣ⁻⁷ – 11) = 4 является ...

Решение:

Данное уравнение: \( \log_2(3^{5x-7} - 11) = 4 \)

Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: \( a^{\log_a b} = c \iff \log_a c = b \)

В нашем случае: \( 3^{5x-7} - 11 = 2^4 \)

Вычислим \( 2^4 \): \( 2^4 = 16 \)

Подставим значение в уравнение: \( 3^{5x-7} - 11 = 16 \)

Перенесём -11 в правую часть уравнения: \( 3^{5x-7} = 16 + 11 \)

Сложим числа: \( 3^{5x-7} = 27 \)

Представим 27 как степень числа 3: \( 27 = 3^3 \)

Теперь уравнение имеет вид: \( 3^{5x-7} = 3^3 \)

Так как основания степеней равны, равны и показатели степеней: \( 5x - 7 = 3 \)

Решим полученное линейное уравнение:

1. Прибавим 7 к обеим частям уравнения: \( 5x = 3 + 7 \)
2. \( 5x = 10 \)
3. Разделим обе части на 5: \( x = \frac{10}{5} \)
4. \( x = 2 \)

Проверим, что под логарифмом выражение больше нуля. При \( x=2 \): \( 3^{5 \cdot 2 - 7} - 11 = 3^{10-7} - 11 = 3^3 - 11 = 27 - 11 = 16 \). Так как \( 16 > 0 \), решение верно.

Ответ: x=2