Выберите правильный ответ выражения log_1/3 (1/10) + log_1/3 (250) равно ...

Решение:

Используем свойство логарифмов: \( \log_b x + \log_b y = \log_b (x \cdot y) \).

1. Объединяем логарифмы: \[ \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{10} \right) + \log_{\frac{1}{3}} (250) = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{10} \cdot 250 \right) \]
2. Вычисляем произведение под логарифмом: \[ \frac{1}{10} \cdot 250 = \frac{250}{10} = 25 \]
3. Получаем: \[ \log_{\frac{1}{3}} (25) \]
4. Теперь нужно найти, в какую степень нужно возвести \( \frac{1}{3} \), чтобы получить 25.
5. Пусть \( \log_{\frac{1}{3}} (25) = x \).
6. Тогда \( \left( \frac{1}{3} \right)^x = 25 \).
7. Перепишем \( \frac{1}{3} \) как \( 3^{-1} \) и 25 как \( 5^2 \): \[ (3^{-1})^x = 5^2 \] \[ 3^{-x} = 5^2 \]
8. В данном случае, похоже, есть ошибка в условии или вариантах ответа, так как \( 3^{-x} = 25 \) не имеет простого целочисленного решения.
9. Проверим варианты ответа: 25 и -2.
10. Если ответ 25: \( \log_{\frac{1}{3}} (25) \) не равно 25.
11. Если ответ -2: \( \log_{\frac{1}{3}} (25) \) не равно -2.
12. Однако, если бы вместо 25 стояло \( 27 = 3^3 \), то: \[ \log_{\frac{1}{3}} (27) = \log_{3^{-1}} (3^3) = \frac{3}{-1} \log_3 3 = -3 \]
13. Если бы вместо 25 стояло \( \frac{1}{27} \), то: \[ \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{27} \right) = \log_{3^{-1}} (3^{-3}) = \frac{-3}{-1} \log_3 3 = 3 \]
14. Рассмотрим, если бы основание логарифма было 3, а не 1/3: \[ \log_3 \left( \frac{1}{10} \right) + \log_3 (250) = \log_3 (25) \] \( \log_3 (25) \) также не является простым числом.
15. Возможно, имелось в виду \( \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{10} \right) + \log_{\frac{1}{5}} (250) \) ?
16. Тогда: \[ \log_{\frac{1}{5}} (25) \].
17. Пусть \( \log_{\frac{1}{5}} (25) = x \).
18. \( \left( \frac{1}{5} \right)^x = 25 \)
19. \( (5^{-1})^x = 5^2 \)
20. \( 5^{-x} = 5^2 \)
21. \( -x = 2 \)
22. \( x = -2 \)
23. Если бы основание было \( \frac{1}{5} \), то ответ был бы -2.

Ответ: -2