Проанализируем каждый вариант введения цитаты, чтобы выявить ошибки:
1. «Русский язык открывается до конца в своих поистине волшебных свойствах и богатстве лишь тому, кто кровно любит и знает «до косточки» свой народ и чувствует сокровенную прелесть нашей земли», — утверждал К. Г. Паустовский. – **Ошибка**: здесь есть пропуск тире перед именем автора цитаты. Должно быть: «…земли», — утверждал К. Г. Паустовский.
2. «Русский язык открывается до конца в своих поистине волшебных свойствах и богатстве лишь тому: считал К. Г. Паустовский, кто кровно любит и знает «до косточки» свой народ и чувствует сокровенную прелесть нашей земли». – **Ошибка**: Нарушена грамматическая связь между частями предложения. Нельзя использовать двоеточие после слов «лишь тому» и сразу за ними ставить авторскую речь. Это выглядит как перечисление, а должно быть введение авторства.
3. К. Г. Паустовский утверждал: «Русский язык открывается до конца в своих поистине волшебных свойствах и богатстве лишь тому, кто кровно любит и знает «до косточки» свой народ и чувствует сокровенную прелесть нашей земли». – **Верно**: Все знаки препинания расставлены правильно. Автор указывает на цитату, используя двоеточие.
4. По мнению К. Г. Паустовского, «русский язык открывается до конца в своих поистине волшебных свойствах и богатстве лишь тому, кто кровно любит и знает «до косточки» свой народ и чувствует сокровенную прелесть нашей земли». – **Ошибка**: Не нужна запятая между «К. Г. Паустовского» и цитатой. Правильно: По мнению К. Г. Паустовского «русский язык...»
5. Что «Русский язык открывается до конца в своих поистине волшебных свойствах и богатстве лишь тому, кто кровно любит и знает «до косточки» свой народ и чувствует сокровенную прелесть нашей земли», — был убеждён К. Г. Паустовский. – **Ошибка**: Некорректное использование союза «что» для введения цитаты. Нужно использовать другие способы введения цитаты, или перефразировать предложение.
**Вывод:** Ошибки допущены в вариантах 1, 2, 4 и 5.