Выберите верное утверждение. ДABC – равнобедренный. AN и CM – медианы. Тогда Δ ANC = Δ CMA 1. по двум сторонам и углу между ними; 2. по стороне и прилежащим к ней углам; 3. по трем сторонам.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Условие:

• У нас есть равнобедренный треугольник ΔABC. Это значит, что две его стороны равны (например, AB = BC), и углы при основании тоже равны (∠BAC = ∠BCA).
• AN и CM — это медианы. Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Значит, N — середина BC, а M — середина AB.
• Нам нужно определить, по какому признаку ΔANC равен ΔCMA.

Разбираем варианты:

1. По двум сторонам и углу между ними (СУС):
• В ΔANC стороны — это AC, NC, AN.
• В ΔCMA стороны — это AC, AM, CM.
• Общая сторона у них — AC.
• Поскольку ΔABC равнобедренный, то AB = BC. Так как N и M — середины сторон, то NC = ½ BC и AM = ½ AB. Отсюда следует, что NC = AM.
• Угол ∠BCA (он же ∠NCA) и ∠BAC (он же ∠MAC) равны, потому что ΔABC — равнобедренный.
• Таким образом, в ΔANC у нас есть стороны AC и NC, а в ΔCMA — стороны AC и AM. Углы ∠BCA и ∠BAC равны.
• Если мы рассматриваем равенство ΔANC и ΔCMA, то у нас есть сторона AC (общая), сторона NC (равна ½ BC) и сторона AM (равна ½ AB). Поскольку AB=BC, то NC=AM.
• У нас есть сторона AC, сторона NC и сторона AM.
• Рассмотрим ΔANC: стороны AC, NC, AN. Углы ∠ACN, ∠CAN, ∠ANC.
• Рассмотрим ΔCMA: стороны AC, AM, CM. Углы ∠CAM, ∠ACM, ∠CMA.
• В ΔABC, AB=BC, ∠BAC=∠BCA.
• AN и CM — медианы. Значит, N — середина BC, M — середина AB.
• NC = ½ BC, AM = ½ AB. Так как AB=BC, то NC = AM.
• Теперь посмотрим на ΔANC и ΔCMA.
• У них есть общая сторона AC.
• У них есть стороны NC = AM.
• У нас есть Угол ∠BCA (или ∠NCA) и ∠BAC (или ∠MAC). Так как ΔABC равнобедренный, то ∠BCA = ∠BAC.
• Следовательно, мы можем применить признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС): AC = AC (общая сторона), NC = AM (доказано выше), и угол между ними ∠BCA = ∠BAC.
• Важно: угол, который мы используем, должен быть между двумя сторонами.
• В ΔANC, стороны AC и NC. Угол между ними ∠ACN.
• В ΔCMA, стороны AC и AM. Угол между ними ∠CAM.
• У нас ∠BCA = ∠BAC.
• Если мы рассмотрим ΔABC, то ∠BCA = ∠BAC.
• В ΔANC: сторона AC, сторона NC, угол ∠ACN.
• В ΔCMA: сторона AC, сторона AM, угол ∠CAM.
• Нам дано, что ΔANC = ΔCMA. Мы должны найти признак.
• У нас есть: AC - общая сторона.
• NC = ½ BC, AM = ½ AB. Т.к. AB=BC, то NC = AM.
• Теперь посмотрим на углы. В ΔABC, ∠BAC = ∠BCA.
• Рассмотрим ΔANC. Стороны: AC, NC, AN. Углы: ∠ACN, ∠CAN, ∠ANC.
• Рассмотрим ΔCMA. Стороны: AC, AM, CM. Углы: ∠CAM, ∠ACM, ∠CMA.
• У нас есть: AC = AC (общая). NC = AM.
• Угол ∠BCA = ∠BAC.
• В ΔANC, угол ∠ACN является частью ∠BCA.
• В ΔCMA, угол ∠CAM является частью ∠BAC.
• Это не совсем прямой угол между сторонами.
• Давайте попробуем другой подход.
• В равнобедренном ΔABC, медианы AN и CM равны. Это известное свойство равнобедренных треугольников (медианы, проведенные к боковым сторонам, равны).
• Теперь у нас есть:
• AC — общая сторона.
• NC = AM (половины равных боковых сторон).
• AN = CM (медианы, проведенные к боковым сторонам).
• Следовательно, ΔANC равен ΔCMA по трем сторонам (AC, NC, AN и AC, AM, CM).
• Значит, вариант 3. «по трем сторонам» подходит.
2. По стороне и прилежащим к ней углам (УСУ): У нас нет информации о равенстве углов, кроме тех, что относятся к основанию ΔABC.
3. По трем сторонам (ССС):
• Мы уже показали, что AC = AC (общая сторона).
• NC = ½ BC и AM = ½ AB. Так как AB = BC, то NC = AM.
• AN = CM, так как медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
• Таким образом, все три стороны ΔANC равны трем сторонам ΔCMA.

Вывод:

Треугольники ΔANC и ΔCMA равны по третьему признаку равенства треугольников — по трем сторонам (ССС).

Ответ: 3. по трем сторонам.