1. Шведские солдаты называли Карла XII за его упрямство "железной башкой" - неверно.
2. Карл XII требовал от своих солдат вести прицельный огонь по противнику с 70 шагов - неверно.
3. После взятия Могилёва шведы двинулись прямо на Смоленск - "ворота Москвы" - неверно.
4. Меншиков разорил резиденцию Мазепы, город Батурин, где находились склады продовольствия и военных припасов - верно.
5. В сражении при Лесной 28 сентября 1708 г. русские войска разгромили корпус А. Левенгаупта, шедший к Карлу ХІІ с подкреплением и огромным обозом - верно.
6. Суровая зима 1708/09 г. и действия партизан ослабили шведскую армию, унеся жизни пятой части солдат - верно.
7. Полтавская битва началась с успешной внезапной ночной атаки шведов на русский лагерь - неверно.
8. Во время Полтавской битвы общее командование русской армией осуществлял А.С. Шеин - неверно.
9. Под Переволочной капитулировало около 16 тысяч шведских солдат - верно.
10. Полтавская победа привела к тому, что Швеция потеряла статус великой державы, уступив его России - верно.
Таким образом, верные суждения: 4, 5, 6, 9, 10.
Ответ: 456910