Давайте разберем каждое утверждение и выберем верные.
1. **После поражения в битве персы перестали считаться непобедимыми.** Это **верное** утверждение. Марафонская битва показала, что персы могут быть побеждены, и разрушила их репутацию непобедимых.
2. **В память о быстроногом эллине, принесшим весть о победе в Афины, атлеты проплывают марафонскую дистанцию.** Это **неверное** утверждение. Марафонская дистанция связана с бегом, а не с плаванием. Легенда гласит, что гонец пробежал расстояние от Марафона до Афин, чтобы сообщить о победе.
3. **Расстояние между Марафоном и центром Афин составляет 21 километр 195 метров.** Это **неверное** утверждение. Приблизительное расстояние от Марафона до Афин составляет около 42 километров.
4. **После поражения в битве Персидская держава перестала существовать.** Это **неверное** утверждение. Персидская держава существовала ещё долгое время после Марафонской битвы. Битва была важной победой, но она не привела к падению всей державы.
5. **Расстояние между Марафоном и центром Афин составляет 42 километра.** Это **верное** утверждение. Именно эта дистанция является основой для современной марафонской дистанции.
**Итоговый ответ:** Верные утверждения: 1) После поражения в битве персы перестали считаться непобедимыми. 5) Расстояние между Марафоном и центром Афин составляет 42 километра.