Выберите верные утверждения Хотя бы для одной карточки сумма написанных на ней чисел чётна. Хотя бы для одной карточки сумма написанных на ней чисел нечётна. Произведение всех полученных сумм чётно. Произведение всех полученных сумм нечётно.

Рассмотрим задачу. На 9 карточках написаны числа от 1 до 9. Затем на обратной стороне каждой карточки снова написаны числа от 1 до 9. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются, и 9 полученных сумм перемножаются.

Нужно выбрать верные утверждения.

Среди чисел от 1 до 9 имеется 5 нечётных чисел (1, 3, 5, 7, 9) и 4 чётных числа (2, 4, 6, 8).

Рассмотрим возможные варианты суммы чисел на одной карточке:

• чётное + чётное = чётное
• нечётное + нечётное = чётное
• чётное + нечётное = нечётное
• нечётное + чётное = нечётное

Теперь проанализируем утверждения:

• "Хотя бы для одной карточки сумма написанных на ней чисел чётна."

Чтобы сумма была чётной, на карточке должны быть либо два чётных числа, либо два нечётных числа. Так как у нас есть чётные и нечётные числа, то такое возможно. Это утверждение верно.

• "Хотя бы для одной карточки сумма написанных на ней чисел нечётна."

Чтобы сумма была нечётной, на карточке должны быть одно чётное и одно нечётное число. Так как у нас есть чётные и нечётные числа, то такое возможно. Это утверждение верно.

• "Произведение всех полученных сумм чётно."

Для того чтобы произведение 9 сумм было чётным, достаточно, чтобы хотя бы одна из сумм была чётной. Мы уже установили, что хотя бы одна сумма может быть чётной, следовательно, и произведение может быть чётным. Допустим, что все 9 сумм оказались нечетными. Такое возможно, так как на каждой карточке могут быть записаны четное и нечетное число. Но среди чисел от 1 до 9 пять нечетных и четыре четных, то есть 5 карточек будут с нечетными числами, и 4 с четными. Допустим на каждой карточке записаны нечетные и четные числа, тогда сумма чисел на карточке будет нечетной. Если все 9 сумм будут нечетными, то произведение всех 9 сумм будет нечетным. Таким образом, произведение не всегда будет четным. Чтобы произведение было четным, нужно чтобы хотя бы одна из сумм была четной. А для того, чтобы сумма на карточке была четной, необходимо, чтобы на карточке были либо два четных числа, либо два нечетных числа. Так как среди чисел от 1 до 9 есть и четные, и нечетные числа, то вероятность того, что хотя бы на одной карточке будут либо два четных, либо два нечетных числа велика. Следовательно, это утверждение верно.

• "Произведение всех полученных сумм нечётно."

Для того, чтобы произведение было нечетным, все сомножители должны быть нечетными. На карточках должны быть записаны четные и нечетные числа. Тогда сумма чисел на карточке будет нечетной. Допустим на каждой карточке записаны нечетные и четные числа, тогда сумма чисел на карточке будет нечетной. Если все 9 сумм будут нечетными, то произведение всех 9 сумм будет нечетным. Таким образом, произведение может быть нечетным. Это утверждение верно.

Ответ: Все утверждения верны.