Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВыберите верный ответ. Медианы равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке О. Известно, что СО = 10, ВО = 12. Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ:
Решение:
Пусть медианы AA1 и CC1 пересекаются в точке O. Так как CO = 10, то OC1 = CO/2 = 5. BO = 12, значит, BO1 = BO/2 = 6.
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому AO = 2 * OA1 и CO = 2 * OC1. Из условия CO = 10, значит OC1 = 5. Аналогично, BO = 12, значит, медиана BB1 = 12 + 6 = 18.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. Следовательно, AA1 = CC1.
Площадь треугольника ABC можно найти, зная длины медиан AA1 и BB1, и угол между ними \(\varphi\) (угол AOB):
\[S = \frac{4}{3} \sqrt{s(s - m_a)(s - m_b)(s - m_c)}\]где \(m_a, m_b, m_c\) - медианы треугольника, \(s\) - полупериметр треугольника, составленного из медиан.
В нашем случае, пусть \(AA_1 = m_a = CC_1 = m_c\). Известно, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны, поэтому \(AA_1 = CC_1\).
Так как медианы AA1 и CC1 пересекаются под прямым углом, то треугольник AOC прямоугольный. Используем теорему Пифагора:
AC^2 = AO^2 + OC^2 => AC^2 = (2*6)^2 + 10^2 => AC^2 = 144 + 100 => AC^2 = 244 => AC = \(\sqrt{244}\)
Также, медиана BB1 перпендикулярна AC и является высотой. Поэтому площадь треугольника ABC:
S = 0.5 * AC * BB1 = 0.5 * \(\sqrt{244}\) * 18
AC - основание, равное \(2 \cdot A_1C\). Из прямоугольного треугольника \(A_1OC\): \(A_1C = \sqrt{OC^2 + OA_1^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136}\).
Тогда \(AC = 2\sqrt{136}\).
Площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{136} \cdot 12 = 12\sqrt{136} = 12\sqrt{4 \cdot 34} = 12 \cdot 2\sqrt{34} = 24\sqrt{34} \approx 140.0\)
Получается, что площадь треугольника равна \( \frac{2}{3} \cdot BO \cdot CO = \frac{2}{3} \cdot 12 \cdot 10 = 80 \) . Тогда площадь треугольника ABC равна 144.
S = 144
Ответ: 144
