Выберите все периодические дроби, равные данной 6, (729).

Решение:

Периодическая дробь — это дробь, у которой после запятой повторяется последовательность цифр (период).

Данная дробь — \( 6, (729) \). Это означает, что после запятой бесконечно повторяется комбинация цифр '729'.

Рассмотрим варианты:

• \( 6,7(2) \) — период '2'. Эта дробь равна \( 6.7222... \).
• \( 6,4(29) \) — период '29'. Эта дробь равна \( 6.4292929... \).
• \( 6,72(972) \) — период '972'. Эта дробь равна \( 6.72972972... \).
• \( 6,5729729729... \) — это дробь, где период '5729729', или возможно \( 6.5729729729... \). Если принять, что цифра '5' не входит в период, то это другая дробь. Если период — '5729', то это \( 6.57295729... \). Если принять, что период повторяется как '5729729...', то это \( 6.5729729... \).

По условию, мы ищем периодические дроби, равные \( 6, (729) \). Это означает, что последовательность цифр '729' должна повторяться сразу после запятой.

• \( 6,72(972) \) — эта дробь равна \( 6.72972972... \). Здесь числа '729' повторяются, но перед ними есть цифра '7', которая не является частью периода.

Переведем десятичную дробь \( 6, (729) \) в обыкновенную, чтобы точно сравнить:

Пусть \( x = 6.729729729... \). Тогда \( 10x = 67.29729729... \) и \( 1000x = 6729.729729... \).

Вычтем первое из второго: \( 1000x - 10x = 6729.729729... - 67.29729729... \)

\( 990x = 6663 \)

\( x = \frac{6663}{990} = \frac{740.333...}{110} \). Это не просто дробь.

Перевод \( 6,(729) \):

Пусть \( y = 6.729729729... \).

\( 1000y = 6729.729729... \)

\( y = 6.729729... \)

\( 1000y - y = 6729 - 6 \)

\( 999y = 6723 \)

\( y = \frac{6723}{999} \). Разделим числитель и знаменатель на 9: \( y = \frac{747}{111} \). Разделим числитель и знаменатель на 3: \( y = \frac{249}{37} \).

Теперь рассмотрим варианты:

• \( 6,7(2) = 6 + \frac{7}{10} + \frac{2}{90} = 6 + \frac{63+2}{90} = 6 + \frac{65}{90} = 6 + \frac{13}{18} = \frac{108+13}{18} = \frac{121}{18} \).
• \( 6,4(29) = 6 + \frac{4}{10} + \frac{29}{900} = 6 + \frac{360+29}{900} = 6 + \frac{389}{900} = \frac{5400+389}{900} = \frac{5789}{900} \).
• \( 6,72(972) = 6 + \frac{72}{100} + \frac{972}{90000} = 6 + \frac{72}{100} + \frac{972}{90000} = 6 + \frac{64800+972}{90000} = 6 + \frac{65772}{90000} \).
• \( 6,5729729729... \) — если период '5729', то \( 6.57295729... = 6 + \frac{5729}{9999} = \frac{59994+5729}{9999} = \frac{65723}{9999} \).

Правильный вариант, равный \( 6,(729) \), это дробь, у которой период '729' сразу после запятой.

\( 6,(729) = 6.729729729... \)

Среди предложенных вариантов нет дроби, которая равна \( 6,(729) \). Возможно, задание предполагает, что \( 6,(729) \) является одной из опций, а остальные нужно проверить на равенство. По условию, нужно выбрать периодические дроби, равные данной. В данном случае, из предложенных вариантов, ни один не равен \( 6,(729) \).

Однако, если рассматривать вариант \( 6,72(972) \), то он равен \( 6.72972972... \). Эта дробь отличается от \( 6.(729) \), которая равна \( 6.729729729... \) (где период - 729). Если считать, что \( 6,72(972) \) и \( 6,(729) \) это одно и то же, то это ошибочное утверждение.

Если же рассматривать \( 6,72(972) \) как \( 6.72972972... \) и \( 6,(729) \) как \( 6.729729729... \), то они отличаются. Но очень похожи.

Если имеется в виду, что \( 6,(729) = \frac{6729-6}{999} = \frac{6723}{999} = \frac{747}{111} = \frac{249}{37} \).

Проверим \( 6,72(972) = \frac{672972-672}{900000} = \frac{672300}{900000} = \frac{6723}{9000} = \frac{747}{1000} \).

Эти дроби не равны. Вероятно, в задании есть неточность или я неправильно интерпретирую вариант \( 6,5729729729... \).

Если \( 6,5729729729... \) означает, что период начинается с \( 5729 \), то это \( 6.57295729... \). Если период \( 729 \), то это \( 6.5729729729... \).

Если предположить, что \( 6,(729) \) подразумевает \( 6.729729729... \), то ни один из вариантов не подходит точно.

Но если допустить, что \( 6,72(972) \) интерпретируется как \( 6.729729729... \) (что не совсем корректно), то это единственный вариант, который имеет схожее строение.

При более точной интерпретации, \( 6,(729) \) — это \( 6.729729729729... \). Вариант \( 6,72(972) \) — это \( 6.72972972972... \). Они идентичны.

Ответ: 6,72(972).