7, вычеркните. 6. Продолжите такие действия до тех пор, пока все числа не будут вычеркнуты или взяты в кружок. 96. Найдите наибольшее: 1) двузначное; 2) трехзначное простое число. 97. При каких значениях а произведение 29 · а будет: 1) простым числом; 2) составным числом? 98. Будет ли сумма трех последовательных чисел простым числом? 99. Какие из чисел 19, 28, 31, 45, 53, 59, 81, 89, 104 и 156 простые, а какие составные? 100. Найдите все простые решения двойных неравенств: 1) 10 < x < 18; 2) 27 < y < 37; 18 3) 23 ≤ y < 34.

96. Найдите наибольшее: 1) двузначное; 2) трехзначное простое число.

Решение:

• Двузначное простое число: Самое большое двузначное число - 99, но оно делится на 3 и 9. Ближайшее меньшее число - 97. Проверим, делится ли оно на какие-либо простые числа меньше его квадратного корня (примерно 9.8). 97 не делится на 2, 3, 5, 7. Следовательно, 97 - простое число.
• Трёхзначное простое число: Самое большое трёхзначное число - 999, которое делится на 3 и 9. Ближайшее меньшее число - 997. Проверим, делится ли оно на какие-либо простые числа меньше его квадратного корня (примерно 31.5). 997 не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Следовательно, 997 - простое число.

Сравниваем 97 и 997. Очевидно, что 997 больше.

Ответ: 997

97. При каких значениях a произведение 29 · a будет: 1) простым числом; 2) составным числом?

Решение:

• Чтобы произведение 29 ⋅ a было простым числом, a должно быть равно 1, так как простое число делится только на 1 и на себя. В этом случае 29 ⋅ 1 = 29, что является простым числом.
• Чтобы произведение 29 ⋅ a было составным числом, a должно быть любым целым числом больше 1, например, 2. В этом случае 29 ⋅ 2 = 58, что является составным числом (делится на 1, 2, 29, 58).

Ответ: 1) a = 1; 2) a > 1

98. Будет ли сумма трех последовательных чисел простым числом?

Решение:

Рассмотрим три последовательных числа: n, n+1, n+2.

Их сумма равна: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1).

Сумма трех последовательных чисел всегда делится на 3. Единственное простое число, которое делится на 3, это само число 3. Чтобы сумма была равна 3, нужно, чтобы n+1 = 1, то есть n = 0. Но последовательные числа должны быть натуральными, поэтому это условие не выполняется для натуральных чисел.

Ответ: Нет, сумма трех последовательных чисел не всегда будет простым числом (за исключением случая 0 + 1 + 2 = 3).

99. Какие из чисел 19, 28, 31, 45, 53, 59, 81, 89, 104 и 156 простые, а какие составные?

Решение:

• Простые числа: 19, 31, 53, 59, 89 (делятся только на 1 и на себя).
• Составные числа: 28 (делится на 2, 4, 7, 14), 45 (делится на 3, 5, 9, 15), 81 (делится на 3, 9, 27), 104 (делится на 2, 4, 8, 13, 26, 52), 156 (делится на 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78).

Ответ: Простые: 19, 31, 53, 59, 89; Составные: 28, 45, 81, 104, 156.

100. Найдите все простые решения двойных неравенств: 1) 10 < x < 18; 2) 27 < y < 37; 3) 23 ≤ y < 34.

Решение:

• 10 < x < 18: Простые числа между 10 и 18: 11, 13, 17.
• 27 < y < 37: Простые числа между 27 и 37: 29, 31.
• 23 ≤ y < 34: Простые числа между 23 (включительно) и 34 (не включая): 23, 29, 31.

Ответ: 1) 11, 13, 17; 2) 29, 31; 3) 23, 29, 31.