Вычисли: $$\frac{21^4}{49^2 \cdot 9^3}$$.

Вычислим значение выражения $$\frac{21^4}{49^2 \cdot 9^3}$$.

Представим числа 21, 49 и 9 в виде произведения простых чисел:

• $$21 = 3 \cdot 7$$
• $$49 = 7^2$$
• $$9 = 3^2$$

Тогда выражение примет вид:

$$ \frac{21^4}{49^2 \cdot 9^3} = \frac{(3 \cdot 7)^4}{(7^2)^2 \cdot (3^2)^3} $$

Применим свойства степеней: $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ и $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$ \frac{(3 \cdot 7)^4}{(7^2)^2 \cdot (3^2)^3} = \frac{3^4 \cdot 7^4}{7^{2 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 3}} = \frac{3^4 \cdot 7^4}{7^4 \cdot 3^6} $$

Сократим дробь на $$7^4$$:

$$ \frac{3^4 \cdot 7^4}{7^4 \cdot 3^6} = \frac{3^4}{3^6} $$

Применим свойство степеней: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$ \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} $$

Используем свойство отрицательной степени: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $$

Ответ: $$\frac{1}{9}$$