Вычисли AC, если AB = 13 см и ∠DOA = 120°.

Решение:

Дано, что AB = 13 см и ∠ DOA = 120°.

В окружности проведем радиусы OD и OA. Треугольник DOA является равнобедренным, так как OD = OA (радиусы). Угол ∠ DOA = 120°.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠ ODA = ∠ OAD = °.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно:

\[ 180° - 120° = 60° \] \( 60° / 2 = 30° \)

Сторона AB является хордой окружности.

В окружности проведены хорды AB и AC.

Угол ∠ DOA = 120°.

Углы ∠ DOA и ∠ COB являются вертикальными, следовательно ∠ COB = 120°.

Треугольник COB — равнобедренный (OC = OB). Углы при основании равны:

\[ \angle OCB = \angle OBC = \frac{180° - 120°}{2} = 30° \]

Аналогично, ∠ AOD = 120°, тогда ∠ BOC = 120°.

Углы ∠ AOC и ∠ BOD являются вертикальными.

∠ BOD = 360° - 120° - 120° = 120°.

Треугольник BOD — равнобедренный (OB = OD). Углы при основании равны:

\[ \angle OBD = \angle ODB = \frac{180° - 120°}{2} = 30° \]

Также, ∠ AOC = ∠ BOD = 120°.

В равнобедренном треугольнике AOC (OA = OC), углы при основании равны:

\[ \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 120°}{2} = 30° \]

Угол ∠ BAC = ∠ OAB + ∠ OAC.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный (OA = OB). Угол ∠ AOB = 360° - 120° ( ∠ DOA) - 120° (∠ COB) = 120°.

∠ OAB = ∠ OBA = °.

Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный (OA = OC). Угол ∠ AOC = 120°.

∠ OAC = ∠ OCA = 30°.

Угол ∠ BAC = ∠ OAB + ∠ OAC = 30° + 30° = 60°.

В треугольнике ABC:

Угол ∠ ABC = ∠ ABO + ∠ OBC = 30° + 30° = 60°.

Угол ∠ ACB = ∠ ACO + ∠ OCB = 30° + 30° = 60°.

Таким образом, треугольник ABC является равносторонним.

Следовательно, AC = AB = BC.

Так как AB = 13 см, то AC = 13 см.

Ответ: 13 см.