Вычисли AD, если CD = 3 см и ∠ COB = 90°.

Условие задачи:

У нас есть круг с центром в точке O. Диаметры AC и BD пересекаются под прямым углом. Известно, что длина хорды CD равна 3 см, а угол ∠COB равен 90°.

Что нужно найти: Длину хорды AD.

Решение:

Давай разберемся по шагам:

1. Анализ информации:
   
   • Угол ∠COB равен 90°. Это значит, что радиусы OC и OB перпендикулярны.
   • CD — это хорда, которая соединяет точки C и D на окружности.
   • AD — это хорда, которую нам нужно найти.
2. Свойства окружности:
   
   • Радиусы OC, OB, OD, OA равны между собой.
   • Хорды, которые стягивают равные центральные углы, равны.
3. Рассмотрим треугольник COB:
   Поскольку ∠COB = 90°, треугольник COB — прямоугольный.
4. Рассмотрим треугольник COD:
   У нас есть хорда CD = 3 см.
5. Связь между хордами и углами:
   Угол ∠COB = 90°. Так как AC и BD — диаметры, они делят окружность на равные части. Угол ∠AOD также равен 90°, потому что он вертикальный углу ∠COB.
6. Рассмотрим треугольник AOD:
   Треугольник AOD является прямоугольным (так как ∠AOD = 90°) и равнобедренным (так как OA = OD — это радиусы).
7. Находим AD:
   В прямоугольном равнобедренном треугольнике AOD, по теореме Пифагора: AD² = OA² + OD².
   Поскольку OA = OD = R (радиус окружности), то AD² = R² + R² = 2R².
   Следовательно, AD = R√2.
8. Находим радиус R:
   Теперь нам нужно найти радиус R. Рассмотрим хорду CD = 3 см. Угол ∠COD = 180° - 90° - 90° = 0°, что некорректно. Вернемся к условию: ∠COB = 90°.
9. Пересмотр:
   У нас есть хорда CD = 3 см. Угол ∠COB = 90°. Это означает, что дуга CB равна 90°.
10. Дуги и углы:
    Угол ∠AOD = 90° (как вертикальный к ∠COB).
    Угол ∠BOC = 90°.
    Угол ∠COD = 180° - 90° = 90° (если AC - прямая линия, то ∠COB + ∠COD = 180°).
    Угол ∠AOB = 180° - 90° = 90°.
11. Рассмотрим хорду CD:
    Хорда CD стягивает центральный угол ∠COD. Если ∠COD = 90°, то в прямоугольном равнобедренном треугольнике COD (OC=OD=R), по теореме Пифагора: CD² = OC² + OD².
    3² = R² + R²
    9 = 2R²
    R² = 9/2
    R = 3/√2 = (3√2)/2.
12. Находим AD:
    Теперь найдем AD. Как мы выяснили ранее, AD = R√2.
    Подставим значение R: AD = ((3√2)/2) * √2.
    AD = (3 * (√2 * √2)) / 2.
    AD = (3 * 2) / 2.
    AD = 3.
13. Второй вариант интерпретации:
    Если ∠COB = 90°, то дуга CB = 90°. Дуга AD = 90° (вертикальный угол ∠AOD = ∠COB = 90°).
    Если дуга AD = 90°, то хорда AD = R√2.
14. Связь CD с R:
    По условию, CD = 3 см. Угол ∠COD = 180° - ∠COB = 180° - 90° = 90°. (Предполагая, что AC — диаметр).
    В треугольнике COD, OC = OD = R. ∠COD = 90°.
    По теореме Пифагора: CD² = R² + R² = 2R².
    3² = 2R².
    9 = 2R².
    R² = 4.5.
    R = √4.5 = √(9/2) = 3/√2 = (3√2)/2.
15. Находим AD:
    AD — это хорда, стягивающая центральный угол ∠AOD. Поскольку ∠AOD = 90° (вертикальный к ∠COB), то треугольник AOD — прямоугольный равнобедренный.
    AD² = OA² + OD² = R² + R² = 2R².
    AD² = 2 * (9/2) = 9.
    AD = √9 = 3.

Проверка вариантов ответов:

• 1,5√2
• 1,5
• 3√2
• 3

Наш ответ - 3 см.

Ответ: 3 см.