Вычисли АС, если АВ = 16 см и ∠COB=120°.

Пошаговое решение:

1. Так как углы COB и AOD вертикальные, то \(\angle AOD = \angle COB = 120^\circ\).
2. Треугольники AOD и COB равны (AO = OC, BO = OD как радиусы). Следовательно, \(AB = CD = 16\) см.
3. Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный (AO = OC как радиусы). Пусть \(AO = OC = R\).
4. По теореме косинусов для треугольника AOC: \(AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 \cdot AO \cdot OC \cdot cos(\angle AOC)\).
5. Угол AOC смежный с углом AOD, следовательно, \(\angle AOC = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
6. Подставляем в формулу: \(AC^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot cos(60^\circ) = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{1}{2} = 2R^2 - R^2 = R^2\). Значит, \(AC = R\).
7. Теперь рассмотрим треугольник AOD. По теореме косинусов: \(AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 \cdot AO \cdot OD \cdot cos(\angle AOD)\). Так как \(AO = OD = R\) и \(AD = 16\) см, получаем: \(16^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot cos(120^\circ)\).
8. Учитываем, что \(cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \(256 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2\).
9. Тогда \(R^2 = \frac{256}{3}\), и \(R = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\).
10. Так как \(AC = R\), то \(AC = \frac{16\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\) см.