Вычисли DA, если CD = 4 см и ∠BOC = 90°.

Дано: Окружность с центром в точке O, CD = 4 см, ∠BOC = 90°. Найти: DA. Решение: 1. Так как ∠BOC = 90°, то дуга BC, на которую он опирается, равна 90°. Аналогично, центральный угол ∠AOD равен угловой величине дуги AD. 2. Так как ∠BOC = 90°, то треугольник BOC – прямоугольный и равнобедренный (BO = OC как радиусы окружности). Следовательно, BC = BO√2 = OC√2. Но нам известно, что CD = 4 см. CD является хордой. А DA - это тоже хорда. 3. Центральный угол BOC равен 90 градусам, а значит, опирающаяся на него дуга BC также равна 90 градусам. Угол AOC - развернутый, равен 180 градусам. Так как угол BOC = 90, то угол AOB = 180 - 90 = 90 градусам. Значит, треугольник AOB - прямоугольный и равнобедренный. Таким образом, AB = AO√2 = BO√2. 4. Угол BOC = 90 градусам. Значит, угол DOC = углу AOB = (360-90-90)/2 = 90 градусам. Так как углы DOC и AOB центральные и равны 90 градусам, то дуги, на которые они опираются, также равны 90 градусам. Значит, хорды CD и AB равны, и CD = AB = 4 см. 5. Так как ∠BOC = 90°, и углы вертикальные равны, то ∠AOD = ∠BOC = 90°. Значит, треугольник AOD – прямоугольный и равнобедренный (AO = OD как радиусы окружности). Следовательно, AD = AO√2 = OD√2. 6. Если CD = 4 см, то треугольник COD прямоугольный и равнобедренный, OC = OD (радиусы). Тогда, по теореме Пифагора: $$CD^2 = OC^2 + OD^2$$ $$4^2 = OC^2 + OC^2 = 2OC^2$$ $$16 = 2OC^2$$ $$OC^2 = 8$$ $$OC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ см 7. Так как AO = OD = OC = 2√2 см, и треугольник AOD прямоугольный, то: $$AD^2 = AO^2 + OD^2$$ $$AD^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2$$ $$AD^2 = 8 + 8 = 16$$ $$AD = \sqrt{16} = 4$$ см Ответ: 4