Вычисли DA, если CD = 5 см и / СОВ = 90°.

Решение:

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

У нас есть окружность с центром в точке O. Нам дано, что длина хорды CD равна 5 см, а центральный угол ∠COB равен 90°. Нужно найти длину хорды DA.

Обратим внимание на рисунок:

• Диагонали AC и BD пересекаются в центре окружности O.


• Угол ∠COB равен 90°. Это значит, что радиусы OC и OB перпендикулярны.


• Угол ∠COB является центральным углом, опирающимся на дугу CB. Следовательно, дуга CB равна 90°.


• Хорда CD равна 5 см.

Рассмотрим треугольник COB. Так как OC и OB — радиусы, треугольник COB — равнобедренный. Угол ∠COB = 90°, значит, это прямоугольный равнобедренный треугольник. В нем CB — гипотенуза.

Теперь посмотрим на треугольник COD. OC и OD — радиусы, значит, треугольник COD — равнобедренный. Нам дана хорда CD.

Еще один важный момент: если центральные углы равны, то и соответствующие им хорды равны. У нас есть угол ∠COB = 90°. Если предположить, что AD и CB — диаметры, то ∠AOC = ∠BOD = 90°. Однако, из рисунка видно, что AC и BD — это диаметры, и они пересекаются под прямым углом в точке O, так как ∠AOB = ∠COD = 90° (по рисунку видно, что углы при пересечении диагоналей прямые).

Если ∠COD = 90°, то треугольник COD — прямоугольный равнобедренный. CD — гипотенуза. По теореме Пифагора: $$CD^2 = OC^2 + OD^2$$. Так как OC = OD = R (радиус), то $$CD^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$$.

Нам дано CD = 5 см. Значит, $$5^2 = 2R^2$$, то есть $$25 = 2R^2$$. Отсюда $$R^2 = \frac{25}{2}$$.

Теперь найдем DA. DA — это тоже хорда, и она является гипотенузой в прямоугольном равнобедренном треугольнике AOD (так как ∠AOD = 90°). По теореме Пифагора: $$DA^2 = OA^2 + OD^2$$. Так как OA = OD = R, то $$DA^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$$.

Мы уже выяснили, что $$2R^2 = 25$$.

Следовательно, $$DA^2 = 25$$.

Извлекая квадратный корень, получаем $$DA = \sqrt{25} = 5$$ см.

Проверим вариант ответа:

Если DA = 5 см, то это соответствует одному из вариантов.

Важно! На рисунке угол ∠COB = 90° указан, но не используется напрямую для расчета DA. Ключевым моментом является то, что диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом (∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°), и CD = 5 см. Если ∠COD = 90°, то треугольник COD — равнобедренный прямоугольный. Точно так же треугольник AOD — равнобедренный прямоугольный.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в $$\sqrt{2}$$ раз больше катета. Если CD = 5 см, а это гипотенуза, то катеты OC = OD = $$\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$ см. Это радиус окружности.

Теперь рассмотрим треугольник AOD. OA = OD = R = $$\frac{5\sqrt{2}}{2}$$ см. Угол ∠AOD = 90°.

По теореме Пифагора для треугольника AOD:

$$DA^2 = OA^2 + OD^2 = R^2 + R^2 = 2R^2

$$DA^2 = 2 \(\times\) \(\left\)\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right\)^2 = 2 \(\times\) \(\frac{25 \times 2}{4}\) = 2 \(\times\) \(\frac{50}{4}\) = 2 \(\times\) 12.5 = 25

$$DA = \sqrt{25} = 5$$ см.

Итак, DA = 5 см.

Варианты ответов:

• 5√2


• 2,5√2


• 2,5


• 5

Правильный ответ — 5.

Ответ: 5