Вычисли энергию, выделившуюся при образовании 1 кг атомных ядер неона 24/10 Ne из свободных нуклонов. Масса ядра изотопа неона равна 23,99361 а. е. м. Масса свободного протона равна 1,00728 а. е. м. Масса свободного нейтрона равна 1,00866 а. е. м. Скорость света в вакууме c = 3 ⋅ 10^8 м/с. (Ответ округли до сотых.)

Решение:

1. Определение массы ядра неона:

   Масса ядра изотопа неона (²⁴₁₀Ne) дана в атомных единицах массы (а. е. м.).

   Масса ядра (m_я) = 23,99361 а. е. м.

2. Определение массы нуклонов:

   Неон-24 состоит из 10 протонов и 14 нейтронов (24 - 10 = 14).

   • Масса протона (m_p) = 1,00728 а. е. м.
   • Масса нейтрона (m_n) = 1,00866 а. е. м.
3. Расчет суммарной массы свободных нуклонов:

   Общая масса протонов = 10 * m_p = 10 * 1,00728 а. е. м. = 10,0728 а. е. м.

   Общая масса нейтронов = 14 * m_n = 14 * 1,00866 а. е. м. = 14,12124 а. е. м.

   Суммарная масса нуклонов = 10,0728 а. е. м. + 14,12124 а. е. м. = 24,19404 а. е. м.

4. Расчет дефекта массы (Δm):

   Дефект массы — это разница между суммарной массой нуклонов и массой ядра.

   Δm = Суммарная масса нуклонов - Масса ядра

   Δm = 24,19404 а. е. м. - 23,99361 а. е. м. = 0,20043 а. е. м.

5. Перевод дефекта массы в килограммы:

   1 а. е. м. ≈ 1,660539 × 10^-27 кг.

   Δm (кг) = 0,20043 а. е. м. × 1,660539 × 10^-27 кг/а. е. м. ≈ 3,3274 × 10^-28 кг.

6. Расчет энергии, выделившейся при образовании 1 кг ядер:

   В задании указано образование 1 кг ядер, а не 1 ядра. Необходимо найти энергию, соответствующую дефекту массы 1 кг.

   Если Δm (0,20043 а. е. м.) соответствует массе 24 а. е. м. (масса одного ядра), то энергия связи одного ядра E_ядра = Δm ⋅ c².

   Однако, в задаче просят найти энергию, выделившуюся при образовании 1 кг ядер. Это означает, что мы должны рассчитать, сколько ядер неона содержится в 1 кг, и умножить энергию связи одного ядра на это число. Но проще использовать прямое соотношение:

   Из 24,19404 а. е. м. (суммарная масса нуклонов) образовалось ядро массой 23,99361 а. е. м., при этом выделилась энергия, соответствующая дефекту массы 0,20043 а. е. м.

   Рассчитаем, сколько ядер неона содержится в 1 кг. Молярная масса неона-24 ≈ 24 г/моль = 0,024 кг/моль. Число Авогадро N_A = 6,022 × 10²³ моль^-1.

   Количество ядер в 1 кг = (1 кг / 0,024 кг/моль) * 6,022 × 10²³ моль^-1 ≈ 2,509 × 10²⁵ ядер.

   Теперь найдем энергию, которая выделится при образовании одного ядра, используя E = Δm⋅c², где Δm в кг.

   E_ядра = (3,3274 × 10^-28 кг) ⋅ (3 × 10⁸ м/с)²

   E_ядра = (3,3274 × 10^-28 кг) ⋅ (9 × 10¹⁶ м²/с²)

   E_ядра ≈ 2,99466 × 10^-11 Дж.

   Энергия, выделившаяся при образовании 1 кг ядер:

   E_1кг = E_ядра × Количество ядер в 1 кг

   E_1кг = (2,99466 × 10^-11 Дж) × (2,509 × 10²⁵)

   E_1кг ≈ 7,513 × 10¹⁴ Дж.

   Альтернативный расчет, более прямой:

   Мы знаем, что дефект массы Δm = 0,20043 а. е. м. соответствует энергии связи E = Δm⋅c².

   Переведем 1 а. е. м. в энергию, используя эквивалент 931,5 МэВ/(а. е. м.⋅c²).

   E (в МэВ) = Δm (а. е. м.) × 931,5 МэВ/а. е. м.

   E (МэВ) = 0,20043 а. е. м. × 931,5 МэВ/а. е. м. ≈ 186,76 МэВ.

   Теперь переведем эту энергию в Джоули: 1 МэВ = 1,602 × 10^-13 Дж.

   E (Дж) = 186,76 МэВ × 1,602 × 10^-13 Дж/МэВ ≈ 2,9919 × 10^-11 Дж. Это энергия, выделившаяся при образовании одного ядра.

   Теперь найдем, сколько ядер в 1 кг. Масса одного ядра ≈ 24 а. е. м. ≈ 24 × 1,660539 × 10^-27 кг ≈ 3,985 × 10^-26 кг.

   Число ядер в 1 кг = 1 кг / (3,985 × 10^-26 кг/ядро) ≈ 2,509 × 10²⁵ ядер.

   Общая энергия = (2,9919 × 10^-11 Дж/ядро) × (2,509 × 10²⁵ ядер) ≈ 7,507 × 10¹⁴ Дж.

   Упрощенный подход, используя соотношение масс:

   Весьма вероятно, что в задаче предполагается, что энергия выделяется пропорционально массе. То есть, если дефект массы 0,20043 а. е. м. соответствует энергии E₀, то для 1 кг (который состоит из множества таких ядер) энергия будет больше.

   Сначала найдем энергию, соответствующую 1 а. е. м. массы, которая превратилась в энергию. Используем E=mc².

   1 а. е. м. = 1,660539 × 10^-27 кг

   E_{1 а.е.м.} = (1,660539 × 10^-27 кг) × (3 × 10⁸ м/с)²

   E_{1 а.е.м.} = (1,660539 × 10^-27) × (9 × 10¹⁶) Дж ≈ 1,4945 × 10^-10 Дж.

   Теперь умножим эту энергию на дефект массы в а. е. м., чтобы получить энергию, выделившуюся при образовании одного ядра:

   E_ядра = 0,20043 а. е. м. × 1,4945 × 10^-10 Дж/а. е. м. ≈ 2,9946 × 10^-11 Дж.

   Для 1 кг ядер:

   Масса ядра ≈ 24 а. е. м. = 24 * 1,660539 × 10^-27 кг ≈ 3,985 × 10^-26 кг.

   Количество ядер в 1 кг = 1 кг / (3,985 × 10^-26 кг/ядро) ≈ 2,509 × 10²⁵ ядер.

   Общая энергия = (2,9946 × 10^-11 Дж/ядро) × (2,509 × 10²⁵ ядер) ≈ 7,513 × 10¹⁴ Дж.

   Финальный расчет с учетом округления:

   Дефект массы Δm = 0,20043 а. е. м.

   Используем формулу E = Δm ⋅ c², где Δm должно быть в кг. Энергия связывания на один нуклон. Но здесь просят энергию при образовании 1 кг ядер. Нужно найти, сколько энергии приходится на 1 кг массы, которая превратилась в энергию.

   Можно использовать соотношение:

   Если 24,19404 а. е. м. (сумма масс нуклонов) → 0,20043 а. е. м. (дефект массы)

   Тогда 1 кг (масса всей системы) → X (энергия)

   Здесь нужно быть аккуратным. Энергия выделяется из-за дефекта массы.

   Наиболее прямой путь: найти энергию, которая выделяется при превращении 1 а. е. м. массы в энергию.

   1 а. е. м. = 1.660539 * 10^-27 кг

   E = (1.660539 * 10^-27 кг) * (3 * 10⁸ м/с)² = 1.4945 * 10^-10 Дж.

   Эта энергия выделяется, когда 1 а. е. м. массы превращается в энергию.

   Дефект массы = 0,20043 а. е. м.

   Энергия, выделившаяся на 1 ядро = 0,20043 а. е. м. * (1.4945 * 10^-10 Дж/а. е. м.) ≈ 2.9946 × 10^-11 Дж.

   Масса 1 ядра ≈ 24 а. е. м. = 24 * 1.660539 × 10^-27 кг ≈ 3.985 × 10^-26 кг.

   Сколько ядер в 1 кг? Количество = 1 кг / (3.985 × 10^-26 кг/ядро) ≈ 2.509 × 10²⁵ ядер.

   Общая энергия = (2.9946 × 10^-11 Дж/ядро) * (2.509 × 10²⁵ ядер) ≈ 7.513 × 10¹⁴ Дж.

   Округлим до сотых и представим в виде 10¹⁴ Дж:

   7.513 × 10¹⁴ Дж ≈ 7,51 × 10¹⁴ Дж.

Ответ: 7,51