Вычисли корень функции методом деления отрезка пополам. y = x³ + 3x² - 9x - 18, на интервале [-3; 2] с точностью 3 знака после запятой.

Привет! Давай решим это задание вместе. Нам нужно найти корень функции методом деления отрезка пополам на заданном интервале с заданной точностью.

\( y = x^3 + 3x^2 - 9x - 18 \)

Интервал: \( [-3; 2] \)

Точность: 3 знака после запятой

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать метод деления отрезка пополам. Этот метод заключается в последовательном уменьшении интервала, содержащего корень, путем деления его пополам и выбора той половины, на концах которой функция имеет разные знаки.

1. Проверим знаки функции на концах интервала:

\( y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 18 = -27 + 27 + 27 - 18 = 9 \)

\( y(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 9(2) - 18 = 8 + 12 - 18 - 18 = -16 \)

Так как знаки на концах интервала разные, корень находится внутри интервала.

2. Разделим отрезок пополам:

\( c = \frac{a + b}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -0.5 \)

\( y(-0.5) = (-0.5)^3 + 3(-0.5)^2 - 9(-0.5) - 18 = -0.125 + 0.75 + 4.5 - 18 = -12.875 \)

Теперь у нас есть три точки: \( -3, -0.5, 2 \), и значения функции в них: \( 9, -12.875, -16 \).

3. Выберем новый интервал:

Так как \( y(-3) = 9 \) (положительное значение) и \( y(-0.5) = -12.875 \) (отрицательное значение), то корень находится в интервале \( [-3; -0.5] \).

4. Повторим процесс деления отрезка пополам:

\( c = \frac{-3 + (-0.5)}{2} = \frac{-3.5}{2} = -1.75 \)

\( y(-1.75) = (-1.75)^3 + 3(-1.75)^2 - 9(-1.75) - 18 = -5.359 + 9.188 + 15.75 - 18 = 1.579 \)

Теперь у нас есть точки: \( -3, -1.75, -0.5 \), и значения функции в них: \( 9, 1.579, -12.875 \).

5. Выберем новый интервал:

Так как \( y(-1.75) = 1.579 \) (положительное значение) и \( y(-0.5) = -12.875 \) (отрицательное значение), то корень находится в интервале \( [-1.75; -0.5] \).

6. Повторим процесс деления отрезка пополам:

\( c = \frac{-1.75 + (-0.5)}{2} = \frac{-2.25}{2} = -1.125 \)

\( y(-1.125) = (-1.125)^3 + 3(-1.125)^2 - 9(-1.125) - 18 = -1.424 + 3.797 + 10.125 - 18 = -5.502 \)

Теперь у нас есть точки: \( -1.75, -1.125, -0.5 \), и значения функции в них: \( 1.579, -5.502, -12.875 \).

7. Выберем новый интервал:

Так как \( y(-1.75) = 1.579 \) (положительное значение) и \( y(-1.125) = -5.502 \) (отрицательное значение), то корень находится в интервале \( [-1.75; -1.125] \).

8. Повторим процесс деления отрезка пополам:

\( c = \frac{-1.75 + (-1.125)}{2} = \frac{-2.875}{2} = -1.4375 \)

\( y(-1.4375) = (-1.4375)^3 + 3(-1.4375)^2 - 9(-1.4375) - 18 = -2.965 + 6.188 + 12.938 - 18 = -1.839 \)

Теперь у нас есть точки: \( -1.75, -1.4375, -1.125 \), и значения функции в них: \( 1.579, -1.839, -5.502 \).

9. Выберем новый интервал:

Так как \( y(-1.75) = 1.579 \) (положительное значение) и \( y(-1.4375) = -1.839 \) (отрицательное значение), то корень находится в интервале \( [-1.75; -1.4375] \).

10. Повторим процесс деления отрезка пополам:

\( c = \frac{-1.75 + (-1.4375)}{2} = \frac{-3.1875}{2} = -1.59375 \)

\( y(-1.59375) = (-1.59375)^3 + 3(-1.59375)^2 - 9(-1.59375) - 18 = -4.042 + 7.614 + 14.344 - 18 = -0.084 \)

Теперь у нас есть точки: \( -1.75, -1.59375, -1.4375 \), и значения функции в них: \( 1.579, -0.084, -1.839 \).

11. Выберем новый интервал:

Так как \( y(-1.75) = 1.579 \) (положительное значение) и \( y(-1.59375) = -0.084 \) (отрицательное значение), то корень находится в интервале \( [-1.75; -1.59375] \).

12. Повторим процесс деления отрезка пополам:

\( c = \frac{-1.75 + (-1.59375)}{2} = \frac{-3.34375}{2} = -1.671875 \)

\( y(-1.671875) = (-1.671875)^3 + 3(-1.671875)^2 - 9(-1.671875) - 18 = -4.675 + 8.363 + 15.047 - 18 = 0.735 \)

Теперь у нас есть точки: \( -1.75, -1.671875, -1.59375 \), и значения функции в них: \( 1.579, 0.735, -0.084 \).

13. Выберем новый интервал:

Так как \( y(-1.671875) = 0.735 \) (положительное значение) и \( y(-1.59375) = -0.084 \) (отрицательное значение), то корень находится в интервале \( [-1.671875; -1.59375] \).

Продолжим деление до достижения необходимой точности (3 знака после запятой).

14. \( c = \frac{-1.671875 + (-1.59375)}{2} = -1.6328125 \)

\( y(-1.6328125) = 0.321 \)

Интервал: \( [-1.6328125; -1.59375] \)

15. \( c = \frac{-1.6328125 + (-1.59375)}{2} = -1.61328125 \)

\( y(-1.61328125) = 0.119 \)

Интервал: \( [-1.61328125; -1.59375] \)

16. \( c = \frac{-1.61328125 + (-1.59375)}{2} = -1.603515625 \)

\( y(-1.603515625) = 0.017 \)

Интервал: \( [-1.603515625; -1.59375] \)

17. \( c = \frac{-1.603515625 + (-1.59375)}{2} = -1.5986328125 \)

\( y(-1.5986328125) = -0.033 \)

Интервал: \( [-1.603515625; -1.5986328125] \)

18. \( c = \frac{-1.603515625 + (-1.5986328125)}{2} = -1.60107421875 \)

Округляем до трех знаков после запятой: \( -1.601 \)

Молодец! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!