Вычисли определённый интеграл \( \int_{-3}^{4} (6x + 2) dx \). Запиши в поле ответа верное число.

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{-3}^{4} (6x + 2) dx \) сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 6x + 2 \).

1. Первообразная \( F(x) \) находится как: \( F(x) = \int (6x + 2) dx \).
2. Интегрируем по частям: \( \int 6x dx = 6 \frac{x^2}{2} = 3x^2 \) и \( \int 2 dx = 2x \).
3. Таким образом, первообразная равна: \( F(x) = 3x^2 + 2x \).
4. Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
5. Подставим пределы интегрирования \( a = -3 \) и \( b = 4 \):

\( F(4) = 3(4)^2 + 2(4) = 3(16) + 8 = 48 + 8 = 56 \)

\( F(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) = 3(9) - 6 = 27 - 6 = 21 \)

\( \int_{-3}^{4} (6x + 2) dx = F(4) - F(-3) = 56 - 21 = 35 \)

Ответ: 35