Вычисли периметр и площадь ромба, если ∠ MNK = 60° и ОМ = 9 м, а радиус вписанной окружности равен 7,79 м.

Решение:

Ромб MNKL имеет диагонали, которые пересекаются под прямым углом в точке O. Диагонали делят углы ромба пополам. Нам известно, что \( \angle MNK = 60^{\circ} \). Так как \( MO \) — биссектриса \( \angle MNK \), то \( \angle MNO = \frac{1}{2} \angle MNK = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle MNO \) имеем: \( \angle MON = 90^{\circ} \), \( \angle MNO = 30^{\circ} \) и \( OM = 9 \) м.

Мы можем найти сторону ромба \( MN \) по формуле:

\( \cos(\angle MNO) = \frac{OM}{MN} \)

\( MN = \frac{OM}{\cos(30^{\circ})} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \) м.

Периметр ромба \( P \) равен:

\( P = 4 \cdot MN = 4 \cdot 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \) м.

Площадь ромба \( S \) можно найти по формуле:

\( S = MN \cdot h \), где \( h \) — высота ромба. Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине высоты: \( h = 2r \).

Нам дано, что радиус вписанной окружности \( r = 7.79 \) м. Значит, высота ромба \( h = 2 \cdot 7.79 = 15.58 \) м.

Тогда площадь ромба:

\( S = 24\sqrt{3} \cdot 15.58 \approx 24 \cdot 1.732 \cdot 15.58 \approx 41.568 \cdot 15.58 \approx 647.89 \) м².

Примечание: В условии также указано \( OM = 9 \) м. Если использовать \( OM \) для нахождения \( NK \) и затем площади через диагонали, то \( NK = 2 \cdot ON \). Из \( \triangle MNO \): \( \tan(30^{\circ}) = \frac{ON}{OM} \) => \( ON = OM \cdot \tan(30^{\circ}) = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \) м. Тогда \( NK = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) м. Площадь \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} MN \cdot NK = \frac{1}{2} (6\sqrt{3}) (6\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 3 = 54 \) м².

Из-за несоответствия данных (радиус вписанной окружности и \( OM \)) между собой, предпочтение отдается данным, используемым для нахождения сторон и площади через высоту.

Ответ: P = 24\(\sqrt{3}\) м; S ≈ 647.89 м².