Вычисли площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8 см и 10 см, если известно что центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании.

Решение:

Пусть данная равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD. Основания BC = 8 см и AD = 10 см. Центр окружности O лежит на большем основании AD.

Так как центр окружности лежит на основании AD, то AD является диаметром окружности. Следовательно, радиус окружности равен R = AD/2 = 10/2 = 5 см.

В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, равна удвоенному радиусу окружности, если центр окружности лежит вне трапеции. В нашем случае центр лежит на основании, что возможно, если трапеция прямоугольная. Но она равнобедренная. Рассмотрим треугольник OBD, где B - вершина трапеции. OB=OD=R=5 см. BD - диагональ. В равнобедренной трапеции центр описанной окружности лежит на большей основе, если высота трапеции равна радиусу описанной окружности. В таком случае трапеция является прямоугольной, а так как она равнобедренная, то это квадрат. Но основания разные. Значит, центром окружности будет середина большего основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной меньшего основания и боковой стороной. Или, рассмотрим треугольник, образованный радиусом, половиной разницы оснований и высотой трапеции. Пусть h - высота трапеции.

Пусть O - центр окружности. Так как O лежит на AD, то OD = 5 см. Также OB = 5 см. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда AH = (AD - BC)/2 = (10 - 8)/2 = 1 см.

В прямоугольном треугольнике OBH, OH = |OD - HD| = |5 - (AD - AH)| = |5 - (10 - 1)| = |5 - 9| = 4 см. Или, если O лежит между H и D, то OH = HD - OD = (AD - AH) - OD = (10 - 1) - 5 = 9 - 5 = 4 см. Если H лежит между O и D, то OH = OD - HD = 5 - (10 - 1) = 5 - 9 = -4, что невозможно. Значит, OH = 4 см.

По теореме Пифагора в треугольнике OBH: \( OB^2 = OH^2 + BH^2 \) \( 5^2 = 4^2 + h^2 \) \( 25 = 16 + h^2 \) \( h^2 = 25 - 16 = 9 \) \( h = 3 \) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где a и b — основания, h — высота.

\( S = \frac{8+10}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27 \) см².

Ответ: 27 см².