Вычисли площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8 см и 10 см, если известно, что центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD. Основания BC = 8 см, AD = 10 см. Центр описанной окружности O лежит на большем основании AD.

Так как центр окружности лежит на основании AD, то AD является диаметром описанной окружности. Следовательно, радиус окружности равен R = AD / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Высота трапеции, опущенная из вершины B на основание AD, обозначим ее как BH. Треугольник BOC является равнобедренным, так как OB = OC = R = 5 см (радиусы окружности). В равнобедренном треугольнике BOC, если опустить высоту OM на основание BC, то M будет серединой BC. Следовательно, BM = MC = BC / 2 = 8 / 2 = 4 см.

В прямоугольном треугольнике OMC, имеем OC = 5 см, MC = 4 см. По теореме Пифагора найдем высоту OM: \( OM^2 + MC^2 = OC^2 \) \( OM^2 + 4^2 = 5^2 \) \( OM^2 + 16 = 25 \) \( OM^2 = 9 \) \( OM = 3 \) см.

Высота трапеции BH равна OM, так как центр окружности находится на основании AD. То есть, высота трапеции h = BH = 3 см.

Теперь найдем площадь трапеции по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где a и b — основания трапеции, h — высота.

\( S = \frac{8 + 10}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27 \) см².

Ответ: 27 см²