Вычисли полупериметр ромба, радиус и площадь круга, если \(\angle KNM = 60^\circ\) и \(OK = 6\) дм, а площадь ромба равна \(72\sqrt{3}\) дм².

Условие задачи:

Дано: ромб, \(\angle KNM = 60^\circ\), \(OK = 6\) дм, \(S_{ромба} = 72\sqrt{3}\) дм².

Найти: полупериметр ромба \(p\), радиус вписанной окружности \(r\), площадь круга \(S\).

Пошаговое решение:

1. Площадь ромба можно выразить как произведение стороны на высоту, опущенную на эту сторону: \(S = a \cdot h\). В ромбе все стороны равны, а высота, опущенная из вершины тупого угла, равна удвоенному радиусу вписанной окружности, т.е. \(h = 2r\).

2. Так как \(\angle KNM = 60^\circ\), то \(\angle NKM = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ\). Тогда треугольник \(NMK\) - равносторонний, и сторона ромба равна большей диагонали \(NK\). Меньшая диагональ \(MK = 2 \cdot OK = 2 \cdot 6 = 12\) дм.

3. Площадь ромба также может быть выражена через произведение диагоналей: \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\), где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. Подставим известные значения и выразим большую диагональ:

   \[72\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot d_2\]

   \[d_2 = \frac{2 \cdot 72\sqrt{3}}{12} = 12\sqrt{3}\) дм.

4. Сторона ромба \(a = 12\sqrt{3}\) дм.

5. Полупериметр ромба \(p = \frac{1}{2} \cdot 4a = 2a\), значит:

   \[p = 2 \cdot 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) дм.

6. Высота ромба, опущенная на сторону \(NM\), равна \(h = \frac{S}{a} = \frac{72\sqrt{3}}{12\sqrt{3}} = 6\) дм.

7. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба, то есть \(r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3\) дм.

8. Площадь круга равна \(S = \pi r^2\), следовательно:

   \[S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\) дм².

\[p = 24\sqrt{3}\) дм;

\[r = 3\) дм;

\[S = 9\pi\) дм².

Ответ:

\[p = 24\sqrt{3}\) дм;

\[r = 3\) дм;

\[S = 9\pi\) дм².