Вычисли полупериметр ромба, радиус и площадь круга, если ∠ KNM = 60° и MO = 6 мм, а площадь ромба равна 72√3 мм².

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Треугольник MOK является прямоугольным.

По условию, \( \angle KNM = 60^{\circ} \). Так как диагонали ромба делят углы пополам, то \( \angle MKN = \angle KNM / 2 = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике MOK:

\( MO = 6 \) мм (по условию).

\( \text{tg}(\angle MKN) = \frac{MO}{OK} \) \(\implies\) \( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{6}{OK} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{OK} \) \(\implies\) \( OK = 6\sqrt{3} \) мм.

Диагонали ромба равны \( d_1 = MK = 2 \cdot OK = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) мм и \( d_2 = NL = 2 \cdot MO = 2 \cdot 6 = 12 \) мм.

Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей: \( S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 12 = 72\sqrt{3} \) мм². Это соответствует условию.

Сторона ромба \( a \) находится по теореме Пифагора в \( \triangle MOK \):

\( a^2 = MO^2 + OK^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 36 \cdot 3 = 36 + 108 = 144 \)

\( a = \sqrt{144} = 12 \) мм.

1. Полупериметр ромба:

Полупериметр \( p = \frac{1}{2} (a+a+a+a) = 2a = 2 \cdot 12 = 24 \) мм.

2. Радиус вписанной окружности:

Площадь ромба также равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: \( S_{ромба} = p \cdot r \).

\( 72\sqrt{3} = 24 \cdot r \)

\( r = \frac{72\sqrt{3}}{24} = 3\sqrt{3} \) мм.

3. Площадь круга:

Площадь круга \( S_{круга} = \pi r^2 \).

\( S_{круга} = \pi (3\sqrt{3})^2 = \pi (9 \cdot 3) = 27\pi \) мм².

Итоговые ответы:

p = 24 мм;

r = 3 \(\sqrt{\text{3}}\)

S = 27 \(\pi\)