Вычисли пределы: lim (3 + 2x / 1 + 2x)^(1-5x) при x->∞

Решение:

Чтобы вычислить предел вида \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3+2x}{1+2x} \right)^{1-5x} \), сначала проанализируем основание степени при \( x \to \infty \):

\( \lim_{x \to \infty} \frac{3+2x}{1+2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(3/x+2)}{x(1/x+2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3/x+2}{1/x+2} = \frac{0+2}{0+2} = 1 \)

Теперь проанализируем показатель степени:

\( \lim_{x \to \infty} (1-5x) = 1 - \infty = -\infty \)

Мы имеем неопределенность вида \( 1^{-\infty} \). Для её раскрытия представим основание в виде \( 1 + \alpha(x) \), где \( \alpha(x) \to 0 \) при \( x \to \infty \).

\( \frac{3+2x}{1+2x} - 1 = \frac{3+2x - (1+2x)}{1+2x} = \frac{3+2x-1-2x}{1+2x} = \frac{2}{1+2x} \)

Теперь предел можно записать как:

\( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{1+2x} \right)^{1-5x} \)

Используем свойство пределов: \( \lim_{x \to ∞} (1 + \frac{a}{f(x)})^{f(x)} = e^a \) при \( f(x) \to \pm\infty \).

Нам нужно, чтобы показатель степени стал \( \frac{1+2x}{2} \).

\( \lim_{x \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{2}{1+2x} \right)^{\frac{1+2x}{2}} \right)^{\frac{1-5x}{\frac{1+2x}{2}}} \)

Это равно:

\[ e^{\lim_{x \to \infty} \frac{1-5x}{\frac{1+2x}{2}}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{2(1-5x)}{1+2x}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{2-10x}{1+2x}} \]

Теперь найдем предел показателя степени:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2-10x}{1+2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(2/x-10)}{x(1/x+2)} = \frac{0-10}{0+2} = -5 \]

Таким образом, предел равен \( e^{-5} \).

Ответ: \( e^{-5} \).