Вычисли пределы: lim (3+2x / 1+2x)^(1-5x) x→∞

Решение:

Для вычисления предела вида \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3+2x}{1+2x} \right)^{1-5x} \), мы сначала определим предел основания и предел показателя.

Предел основания:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3+2x}{1+2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2x} = 1 \]

Предел показателя:

\[ \lim_{x \to \infty} (1-5x) = 1 - \infty = -\infty \]

Мы имеем неопределённость вида \( 1^{-\infty} \). Для её раскрытия, воспользуемся логарифмированием.

Пусть \( y = \left( \frac{3+2x}{1+2x} \right)^{1-5x} \).

Тогда \( \ln y = (1-5x) \ln \left( \frac{3+2x}{1+2x} \right) \).

Рассмотрим предел \( \ln y \):

\[ \lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} (1-5x) \ln \left( \frac{3+2x}{1+2x} \right) \]

Это неопределённость вида \( \infty \cdot 0 \). Преобразуем выражение:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left( \frac{3+2x}{1+2x} \right)}{\frac{1}{1-5x}} \]

Применим правило Лопиталя:

\[ \frac{d}{dx} \ln \left( \frac{3+2x}{1+2x} \right) = \frac{1+2x}{3+2x} \cdot \frac{2(1+2x) - (3+2x)2}{(1+2x)^2} = \frac{1+2x}{3+2x} \cdot \frac{2+4x - 6-4x}{(1+2x)^2} = \frac{-4}{(3+2x)(1+2x)} \]

\[ \frac{d}{dx} \frac{1}{1-5x} = \frac{5}{(1-5x)^2} \]

Теперь найдём предел отношения производных:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-4}{(3+2x)(1+2x)}}{\frac{5}{(1-5x)^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-4(1-5x)^2}{5(3+2x)(1+2x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-4(25x^2)}{5(4x^2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-100x^2}{20x^2} = -5 \]

Так как \( \lim_{x \to \infty} \ln y = -5 \), то \( \lim_{x \to \infty} y = e^{-5} \).

Ответ: \( e^{-5} \).