Вычисли пределы: lim (4x+3)/(1+4x) ^ (1-3x) x→∞

Решение:

Дан предел вида \( \infty^0 \). Для решения прологарифмируем выражение:

Пусть \( y = \left(\frac{4x+3}{1+4x}\right)^{1-3x} \)

Логарифмируем обе части:

\( \ln y = (1-3x) \ln \left(\frac{4x+3}{1+4x}\right) \)

Теперь найдём предел \( \ln y \) при \( x \to \infty \). Выражение примет вид \( \infty \cdot \ln(1) \), то есть \( \infty \cdot 0 \). Преобразуем к виду \( \frac{\infty}{\infty} \) или \( \frac{0}{0} \) для применения правила Лопиталя.

\( \ln y = \frac{\ln \left(\frac{4x+3}{1+4x}\right)}{\frac{1}{1-3x}} \)

Применим правило Лопиталя. Производная числителя:

\( \frac{d}{dx} \ln \left(\frac{4x+3}{1+4x}\right) = \frac{1+4x}{4x+3} \cdot \frac{4(1+4x) - 4(4x+3)}{(1+4x)^2} = \frac{1+4x}{4x+3} \cdot \frac{4+16x-16x-12}{(1+4x)^2} = \frac{1+4x}{4x+3} \cdot \frac{-8}{(1+4x)^2} = \frac{-8}{(4x+3)(1+4x)} \)

Производная знаменателя:

\( \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-3x}\right) = \frac{d}{dx} (1-3x)^{-1} = -1(1-3x)^{-2} \cdot (-3) = \frac{3}{(1-3x)^2} \)

Теперь найдём предел отношения производных:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-8}{(4x+3)(1+4x)}}{\frac{3}{(1-3x)^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-8(1-3x)^2}{3(4x+3)(1+4x)} \)

Развернём квадрат и перемножим знаменатель:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{-8(1 - 6x + 9x^2)}{3(4x + 16x^2 + 3 + 12x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-8(1 - 6x + 9x^2)}{3(16x^2 + 16x + 3)} \)

Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \):

\( \lim_{x \to \infty} \frac{-8(\frac{1}{x^2} - \frac{6}{x} + 9)}{3(16 + \frac{16}{x} + \frac{3}{x^2})} \)

При \( x \to \infty \), члены с \( x \) в знаменателе стремятся к нулю:

\( \frac{-8 \cdot 9}{3 \cdot 16} = \frac{-72}{48} = -\frac{3}{2} \)

Это предел \( \ln y \). Чтобы найти предел \( y \), нужно возвести \( e \) в степень этого предела:

\( y = e^{-\frac{3}{2}} \)

Ответ: \( e^{-\frac{3}{2}} \)