Вычисли пределы: $$ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{3 + 2x}{1 + 2x} \right)^{1 - 5x} $$

Решение:

Дан предел вида \( 1^{\infty} \). Для его вычисления преобразуем выражение:

\( \frac{3 + 2x}{1 + 2x} = \frac{2x + 1 + 2}{2x + 1} = 1 + \frac{2}{2x + 1} \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \lim_{x\to\infty} \left( 1 + \frac{2}{2x + 1} \right)^{1 - 5x} \]

Воспользуемся свойством предела \( \lim_{x\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{y} \right)^y = e \). Для этого преобразуем показатель степени:

\[ \left( 1 + \frac{2}{2x + 1} \right)^{1 - 5x} = \left( \left( 1 + \frac{2}{2x + 1} \right)^{\frac{2x + 1}{2}} \right)^{\frac{2}{2x + 1} \cdot (1 - 5x)} \]

Теперь найдем предел показателя степени:

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{2(1 - 5x)}{2x + 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{2 - 10x}{2x + 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2}{x} - 10}{\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{0 - 10}{2 + 0} = -5 \]

Таким образом, исходный предел равен:

\[ e^{-5} \]

Или:

\[ \frac{1}{e^5} \]

Ответ: $$e^{-5}$$