Вычисли радиус окружности, если отрезок касательной АК = 13√3 мм и ∠ОАК = 30°.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Дано:

• \[AK = 13\sqrt{3}\text{ мм}\]
• \[\angle OAK = 30^{\circ}\]
• OK — радиус окружности.
• OK перпендикулярен AK (так как OK - радиус, а AK - касательная).

Найти:

• \[OK\]

Решение:

1. \[\triangle OAK\] — это прямоугольный треугольник, так как \[\angle OKA = 90^{\circ}\] (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
2. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
3. Для угла \[\angle OAK = 30^{\circ}\]: \[\operatorname{tg}(\angle OAK) = \frac{OK}{AK}\]
4. Подставляем известные значения: \[\operatorname{tg}(30^{\circ}) = \frac{OK}{13\sqrt{3}}\]
5. Значение \[\operatorname{tg}(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\]
6. Теперь решаем уравнение: \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OK}{13\sqrt{3}}\]
7. Умножаем обе части уравнения на \[13\sqrt{3}\]: \[OK = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 13\sqrt{3}\]
8. Сокращаем \[\sqrt{3}\]: \[OK = 13\]

Ответ: 13 мм