Вычисли радиус окружности, описанной около треугольника, если один из его углов равен 60°, а противолежащая ему сторона равна 60 см. (Если в ответе корней нет, то под знаком корня пиши 1.)

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

Формула теоремы синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( A, B, C \) — противолежащие углы, а \( R \) — радиус описанной окружности.

По условию задачи нам дан один угол и противолежащая ему сторона:

• Угол \( A = 60^{\circ} \)
• Противолежащая сторона \( a = 60 \text{ см} \)

Используя теорему синусов, мы можем записать:

\[ \frac{a}{\sin A} = 2R \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{60}{\sin 60^{\circ}} = 2R \]

Значение синуса 60 градусов равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ \frac{60}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]

Упростим дробь:

\[ 60 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R \]

\( \frac{120}{\sqrt{3}} = 2R \)

Теперь найдём \( R \), разделив обе части на 2:

\[ R = \frac{120}{2\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ R = \frac{60 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{3} \]

Упростим результат:

\[ R = 20\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: Радиус равен \( 20\sqrt{3} \) см.