Вычисли радиус окружности, вписанной в ромб, если \(\angle KLM = 60^\circ\) и \(OK = 14\) мм, а площадь ромба равна \(392\sqrt{3}\) мм².

Решение:

• Площадь ромба можно найти по формуле: \(S = a^2 \cdot sin(\alpha)\), где \(a\) — сторона ромба, \(\alpha\) — угол ромба.
• В нашем случае \(\angle KLM = 60^\circ\), а \(S = 392\sqrt{3}\). Подставим значения в формулу площади: \(392\sqrt{3} = a^2 \cdot sin(60^\circ)\).
• \(sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(392\sqrt{3} = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
• Решим уравнение относительно \(a^2\): \(a^2 = \frac{392\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 392 \cdot 2 = 784\).
• Следовательно, \(a = \sqrt{784} = 28\) мм.
• Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. Высоту можно найти, разделив площадь на сторону: \(h = \frac{S}{a} = \frac{392\sqrt{3}}{28} = 14\sqrt{3}\).
• Тогда радиус \(r = \frac{h}{2} = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}\) мм.

Ответ: \(r = 7\sqrt{3}\) мм.