Вычисли СА, если АВ = 18 см и ∠ DOA = 120°.

Решение:

• Шаг 1: Найдем радиус окружности.

  Так как угол \(\angle AOB\) центральный и опирается на дугу \(AB\), а угол \(\angle ADB\) вписанный и опирается на ту же дугу, то \(\angle AOB = 2 \angle ADB\). Из этого следует, что \(\angle AOB = 120^{\circ}\).

  Рассмотрим равнобедренный треугольник \(\triangle AOB\) (так как \(OA = OB = R\)). Проведем высоту \(OH\) к основанию \(AB\). Тогда \(AH = \frac{1}{2} AB = 9\) см и \(\angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^{\circ}\).

  Используя синус угла в прямоугольном треугольнике \(\triangle AOH\), имеем:

  \[\sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA} = \frac{AH}{R}\] \[\sin(60^{\circ}) = \frac{9}{R}\]

  Так как \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то

  \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{R}\]

  Отсюда найдем радиус \(R\):

  \[R = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\text{ см}\]

• Шаг 2: Найдем угол \(\angle AOC\).

  Угол \(\angle DOC = 120^{\circ}\), значит, \(\angle AOC = 180^{\circ} - \angle DOC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\).

• Шаг 3: Найдем сторону \(CA\) по теореме косинусов.

  В треугольнике \(\triangle AOC\) известны две стороны \(OA = OC = R = 6\sqrt{3}\) см и угол между ними \(\angle AOC = 60^{\circ}\). По теореме косинусов:

  \[CA^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC)\] \[CA^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \cos(60^{\circ})\]

  Так как \(\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\), то

  \[CA^2 = 36 \cdot 3 + 36 \cdot 3 - 2 \cdot 36 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 108 + 108 - 108 = 108\] \[CA = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18\sqrt{3}\text{ см}\]